Relacja antysymetryczna

Relacja Antysymetryczna

Relacja antysymetryczna to dwuczłonowa relacja, która nie może zachodzić jednocześnie dla par $(x, y)$ i $(y, x)$ , jeśli $x$ i $y$ są różne. Formalnie, relacja $\varrho \subset X\times X$ jest antysymetryczna, jeśli spełniony jest warunek:

$\forall_{x, y \in X}( x\;\varrho\; y \land y \;\varrho\; x \; \Rightarrow \; x = y).$

W praktyce oznacza to, że jeżeli dwa różne elementy są w relacji, to nie może być tak, że obie pary $(x, y)$ i $(y, x)$ należą do tej relacji.

Relacja Słabo Antysymetryczna

Termin „relacja słabo antysymetryczna” jest również używany w literaturze. W zależności od autorów, mogą oni preferować jedną z tych nazw. Na przykład, Wojciech Guzicki i Piotr Zakrzewski używają terminu „relacja antysymetryczna”, podczas gdy Wiktor Marek i Janusz Onyszkiewicz stosują termin „relacja słabo antysymetryczna”.

Przykłady Relacji Antysymetrycznych

Relacja równości w dowolnym zbiorze.
Relacja porządku w alfabecie łacińskim, gdzie dla dowolnych dwóch różnych liter nie może jedna z nich występować przed i po drugiej.

Przykłady Relacji Niesymetrycznych

Bycie bratem – relacja ta nie jest symetryczna dla rodzeństwa różnej płci, chociaż może być symetryczna dla dwóch braci.

Podsumowanie

Relacje antysymetryczne i słabo antysymetryczne są istotnymi pojęciami w teorii relacji. Umożliwiają one zrozumienie, w jaki sposób elementy zbioru mogą być ze sobą powiązane, a także jakie warunki muszą być spełnione, aby dana relacja mogła być uznana za antysymetryczną.

Najnowsze aktualności:

Relacja antysymetryczna