Rachunek różnicowy

Rachunek różnicowy

Rachunek różnicowy to dział matematyki, który bada funkcje przy użyciu różnic skończonych. Jest ściśle związany z rachunkiem różniczkowym i umożliwia zastosowanie analogicznych metod w matematyce dyskretnej. Kluczowymi zagadnieniami są równania różnicowe oraz metody numeryczne.

Dla funkcji zmiennej rzeczywistej $Fcolonmathbb\{R\}\; to\; mathbb\{R\}$ pochodna definiowana jest jako $lim\_\{x\; to\; a\}\; frac\{f(x)-f(a)\}\{x-a\}.$ Natomiast w matematyce dyskretnej operujemy na funkcjach $Fcolonmathbb\{N\}\; to\; mathbb\{R\}.$ Dla tych funkcji analogicznym narzędziem jest operator różnicowy $Delta$, definiowany jako $Delta\; f(x)=f(x+1)-f(x).$

Analogiczne zależności między rachunkiem różnicowym a różniczkowym

W rachunku różnicowym potęga krocząca ubywająca $x^\{underline\{m\}\}$ i przyrastająca $x^\{overline\{m\}\}$ stanowią odpowiedniki funkcji potęgowej o wykładniku całkowitym. Działanie operatora $Delta$ na funkcję $x^\{underline\{m\}\}$ daje:

$Delta(x^\{underline\{m\}\})\; =\; (x\; +\; 1)^\{underline\{m\}\}\; –\; x^\{underline\{m\}\}\; =\; mx^\{underline\{m\; –\; 1\}\}.$

Jest to analogiczne do wzoru $D(x^m)=mx^\{m-1\}.$

Operator $Delta$ jest przekształceniem liniowym, co można zapisać jako:

• $Delta(f+g)=Delta(f)+Delta(g)$
• $Delta(cf)=c\; Delta(f)$

W rachunku różnicowym istnieje operacja odwrotna do różnicowania – sumowanie, które jest dyskretną analogią całkowania. Występuje w wersji oznaczonej i nieoznaczonej. Na przykład:

$sum\; x^\{underline\{m\}\}\; delta\; x\; =\; begin\{cases\}frac\{x^\{underline\{m+1\}\}\}\{m+1\}\; quad\; m\; neq\; -1\backslash H\_x\; quad\; m\; =\; -1end\{cases\},$

co przypomina wzór na całkę $int\; x^m\; dx.$ Przekształcenie Abela jest dyskretnym odpowiednikiem całkowania przez części.

Bibliografia

• [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Finite-difference_calculus Finite-difference calculus], Encyclopedia of Mathematics, [dostęp 2023-06-18].