Punkt skupienia zbioru

Punkty skupienia zbioru

Punktem skupienia zbioru $A$ w przestrzeni topologicznej T1 jest punkt $p$, dla którego każde otoczenie zawiera przynajmniej jeden punkt ze zbioru $A$, różny od $p$. Możliwe jest, że punkt skupienia nie należy do zbioru $A$. Zbiór wszystkich punktów skupienia danego zbioru określamy jako jego pochodną.

Własności punktów skupienia

• Punkt $p$ jest punktem skupienia zbioru $A$ wtedy i tylko wtedy, gdy należy do domknięcia zbioru $A\; \backslash setminus\; \backslash \{p\backslash \}$.

Związane pojęcia

• Punkt izolowany to punkt zbioru, który nie jest punktem skupienia. Istnieje otoczenie tego punktu, które nie zawiera innych punktów zbioru.
• Punkt kondensacji to punkt, w każdym otoczeniu którego znajduje się nieprzeliczalnie wiele punktów zbioru. Punkty kondensacji są również punktami skupienia.
• Jednostronne punkty skupienia są definiowane w kontekście zbiorów w przestrzeniach porządkowych. Punkt $x\_0$ jest lewostronnym punktem skupienia, jeśli jest punktem skupienia zbioru $A\; \backslash cap\; (x,\; x\_0)$ dla pewnego . Analogicznie definiuje się punkty prawostronne.
• Punkt skupienia ciągu $(x\_n)\_\{n=1\}^\backslash infty$ to granica zbieżnych podciągów tego ciągu. Punkt $p$ jest punktem skupienia, jeśli istnieje otoczenie, które zawiera elementy ciągu.

Przykłady punktów skupienia

• Każda liczba rzeczywista jest punktem skupienia zbioru liczb rzeczywistych oraz zbioru liczb wymiernych.
• Pochodną przedziałów $(0,1)$ oraz $(0,\; 1]$ jest przedział $[0,1]$.
• Zbiór $\backslash \{0,1,2\backslash \}$ nie ma punktów skupienia – wszystkie jego punkty są izolowane.
• Jedynym punktem skupienia zbioru $\backslash \{1,\; 1/2,\; 1/3,\; 1/4,\; 1/5,\backslash dots\backslash \}$ jest $0$, a punkty są izolowane.
• W zbiorze $\backslash \{1/4,\; 3/4,\; 1/5,\; 4/5,\; 1/6,\; 5/6,\; 1/7,\; 6/7,\backslash dots\backslash \}$ punktami skupienia są $0$ i $1$, pozostałe punkty są izolowane.