Punkt osobliwy
Punkt osobliwy to termin używany w analizie matematycznej, odnoszący się do różnych zjawisk, takich jak osobliwości krzywych oraz równań różniczkowych.
Analiza zespolona
W analizie zespolonej, funkcje holomorficzne można rozwijać w szereg Laurenta, analogicznie jak funkcje rzeczywiste w szereg Taylora. Rozwój ten dzieli się na:
- część regularną: wyrazy z dodatnimi wykładnikami potęg,
- część osobliwą: wyrazy z ujemnymi wykładnikami.
Rząd osobliwości zależy od największego ujemnego wykładnika i może być określany jako biegun lub punkt osobliwy. Istnienie punktu osobliwego jest istotne, ponieważ wymaga omijania punktów, w których funkcja dąży do nieskończoności, oraz obliczania całek konturowych.
W tym kontekście zastosowanie mają lematy Jordana, które pozwalają na uproszczenie całek wzdłuż konturów oraz twierdzenie o residuach. Dzięki temu każda całka konturowa z n punktami osobliwymi może być zamieniona na n całek po okręgach otaczających te osobliwości. Kluczowe jest właściwe zidentyfikowanie biegunów funkcji oraz określenie konturu całkowania.
Kalkulatory mają ograniczenia w obliczeniach całek zawierających punkty osobliwe, ponieważ opierają się na metodzie kwadratur.
Fizyka
W kontekście fizyki, punkty osobliwe są istotne przy wyznaczaniu funkcji Greena dla niejednorodnych równań falowych, takich jak równania falowe ze źródłami, szczególnie w przestrzeni Minkowskiego. Zagadnienie to jest również ważne przy określaniu amplitudy rozpraszania na bryłach z wierzchołkami, na przykład na stożkach.
