Przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przestrzeń zdarzeń elementarnych, znana również jako zbiór zdarzeń elementarnych lub przestrzeń próbek losowych, to zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia losowego. Wyniki te określane są jako zdarzenia elementarne i symbolizowane literą $Omega.$

W rachunku prawdopodobieństwa zbiór zdarzeń elementarnych jest jednym z trzech podstawowych elementów modelu probabilistycznego. Pozostałe elementy to:

• zbiór zdarzeń losowych $mathcal\{F\}$, który jest zbiorem mierzalnych podzbiorów $Omega$ tworzących σ-ciało,
• miara probabilistyczna $P$, przypisana do każdego zdarzenia losowego.

Przestrzeń zdarzeń elementarnych $Omega$ wraz z σ-ciałem $mathcal\{F\}$ tworzy przestrzeń mierzalną $(Omega,mathcal\{F\})$. Uzupełniona o miarę probabilistyczną, tworzy przestrzeń probabilistyczną $(Omega,mathcal\{F\},P)$.

Ważne jest, aby zrozumieć różnicę między zdarzeniami elementarnymi a zdarzeniami losowymi. Zdarzenia elementarne to pojedyncze elementy $omega\_i$ zbioru $Omega$, natomiast zdarzenia losowe są podzbiorami tego zbioru, mogącymi zawierać wiele zdarzeń elementarnych, na przykład $A=\{omega\_1,omega\_2,omega\_3\}\; subseteq\; Omega.$

Przykłady zbiorów zdarzeń elementarnych

• Rzut jedną monetą: $Omega\; =\; \{Orzeł,\; Reszka\}$, gdzie zdarzeniami elementarnymi są Orzeł i Reszka.
• Rzut dwiema monetami: $Omega\; =\; \{(O,\; O),\; (O,\; R),\; (R,\; O),\; (R,R)\}$, z O = orzeł i R = reszka.
• Rzut n monet: Zbiór zdarzeń elementarnych tworzą n-ki uporządkowane z wartościami O lub R.
• Rzut pojedynczą kostką: $Omega^1\; =\; \{1,2,3,4,5,6\}$, czyli liczby oczek na kostce.
• Rzut dwiema kostkami: $Omega^2\; =\; \{(1,\; 1),(1,\; 2),dots,(6,\; 6)\}$, co jest iloczynem kartezjańskim zbioru $Omega^1$, czyli $Omega^2=Omega^1times\; Omega^1.$