Przestrzeń unitarna

Przestrzeń unitarna (prehilbertowska)

Przestrzeń unitarna to przestrzeń liniowa, w której zdefiniowano iloczyn skalarny. Jest to uogólnienie iloczynu skalarnego z przestrzeni rzeczywistych, umożliwiające definiowanie wielkości geometrycznych, takich jak norma wektora, metryka czy kąt między wektorami. Przestrzenie unitarne, które są kompletne ze względu na normę, nazywane są przestrzeniami Hilberta.

Definicja iloczynu skalarnego

Iloczyn skalarny w przestrzeni liniowej $V$ nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych jest funkcją $\backslash langle\; \backslash cdot\; |\; \backslash cdot\; \backslash rangle$, która przyporządkowuje parom wektorów liczbę w ciele $\backslash mathbb\; K$. Definiuje się go poprzez cztery warunki:

• Sprzężona symetria: $\backslash langle\; \backslash mathbf\; x|\; \backslash mathbf\; y\; \backslash rangle\; =\; \backslash overline\{\backslash langle\; \backslash mathbf\; y|\; \backslash mathbf\; x\; \backslash rangle\}$
• Liniowość względem pierwszej zmiennej: $\backslash langle\; \backslash mathbf\; x\; +\; \backslash mathbf\; y|\; \backslash mathbf\; z\; \backslash rangle\; =\; \backslash langle\; \backslash mathbf\; x|\; \backslash mathbf\; z\; \backslash rangle\; +\; \backslash langle\; \backslash mathbf\; y|\; \backslash mathbf\; z\; \backslash rangle$
• Niezdegenerowanie: $\backslash langle\; \backslash mathbf\; x|\backslash mathbf\; x\; \backslash rangle\; =\; 0\; \backslash implies\; \backslash mathbf\; x\; =\; 0$
• Dodatnia określoność: $\backslash langle\; \backslash mathbf\; x|\; \backslash mathbf\; x\; \backslash rangle\; \backslash geqslant\; 0$

Definicja przestrzeni unitarnej

Przestrzeń unitarną definiuje się jako parę: przestrzeń liniową $V$ i zdefiniowany na niej iloczyn skalarny $\backslash langle\backslash cdot|\backslash cdot\backslash rangle$.

Norma i metryka

Iloczyn skalarny pozwala na określenie normy wektora jako $\backslash |\backslash mathbf\; x\backslash |\; =\; \backslash sqrt\{\backslash langle\; \backslash mathbf\; x|\; \backslash mathbf\; x\; \backslash rangle\}$, co spełnia aksjomaty normy. Metryka generowana przez normę jest zdefiniowana jako $d(\backslash mathbf\; x,\; \backslash mathbf\; y)\; =\; \backslash |\backslash mathbf\; x\; –\; \backslash mathbf\; y\backslash |$.

Przykłady przestrzeni unitarnych

• W $\backslash mathbb\; R$: $\backslash langle\; x|\; y\; \backslash rangle\; =\; x\backslash ,\; y$.
• W $\backslash mathbb\; R^n$: $\backslash langle\backslash mathbf\; x\; |\; \backslash mathbf\; y\backslash rangle\; =\; x\_1\; y\_1\; +\; \backslash ldots\; +\; x\_n\; y\_n$.
• W przestrzeni funkcji rzeczywistych: $\backslash langle\; f|\; g\; \backslash rangle\; =\; \backslash int\backslash limits\_I\; f(x)g(x)dx$.
• W przestrzeni funkcji zespolonych: $\backslash langle\; f|\; g\; \backslash rangle\; =\; \backslash int\backslash limits\_I\; f^*(x)g(x)dx$.

Nierówność Schwarza

Dla dowolnych wektorów $\backslash mathbf\; x$ i $\backslash mathbf\; y$ zachodzi nierówność $|\backslash langle\; \backslash mathbf\; x|\; \backslash mathbf\; y\; \backslash rangle|^2\; \backslash leqslant\; \backslash langle\; \backslash mathbf\; x|\; \backslash mathbf\; x\; \backslash rangle\; \backslash langle\; \backslash mathbf\; y|\; \backslash mathbf\; y\; \backslash rangle$.

Ortogonalność wektorów

Wektory $\backslash mathbf\; x$ i $\backslash mathbf\; y$ są ortogonalne, gdy $\backslash langle\; \backslash mathbf\; x|\; \backslash mathbf\; y\; \backslash rangle\; =\; 0$. Układ ortogonalny jest liniowo niezależny, a z każdej bazy przestrzeni unitarnej można otrzymać bazę ortogonalną poprzez ortogonalizację.

Zdegenerowane iloczyny skalarne

Funkcjonale półtoraliniowe, które nie spełniają warunku dodatniej określoności, nazywane są półnormami. Przestrzeń unitarna może być określona przez iloraz $W\; =\; V/\backslash \{\backslash mathbf\; x\backslash colon\; \backslash |\backslash mathbf\; x\backslash |\; =\; 0\backslash \}$.

Motywacja: formy hermitowskie

Definicja iloczynu skalarnego w przestrzeniach zespolonych różni się od tej w przestrzeniach rzeczywistych, co wynika z konieczności uniknięcia negatywnych długości wektorów. Dlatego wprowadzono funkcjonały półtoraliniowe, które są liniowe względem jednej ze współrzędnych i antyliniowe względem drugiej.