Przestrzeń normalna i przestrzeń T4
Przestrzeń normalna oraz przestrzeń T4 to terminy w topologii, które odnoszą się do zdolności oddzielania rozłącznych zbiorów domkniętych za pomocą zbiorów otwartych. Przestrzeń topologiczna jest uznawana za normalną, gdy dla dowolnych rozłącznych zbiorów domkniętych istnieją zbiory otwarte takie, że oraz .
Dyskusja nazewnictwa
W literaturze istnieją różnice w definiowaniu przestrzeni normalnej. Kuratowski definiuje ją jako przestrzeń, w której rozłączne zbiory domknięte mogą być oddzielane przez zbiory otwarte, nie wprowadzając pojęcia przestrzeni T4. Engelking z kolei utożsamia te dwa terminy. Dlatego czytelnicy powinni zwracać uwagę na kontekst użycia terminów w poszczególnych pracach.
Przykłady przestrzeni normalnych
- Przestrzeń liczb rzeczywistych z naturalną topologią.
- Przestrzenie euklidesowe oraz ogólnie przestrzenie metryczne.
- Każda zwarta przestrzeń Hausdorffa.
- Każda regularna przestrzeń Lindelöfa.
- Płaszczyzna Niemyckiego, która nie jest normalna.
- Przykład nieprzestrzeni normalnej: , gdzie , pod warunkiem prawdziwości hipotezy kontinuum (CH).
Własności przestrzeni normalnych
- Każda przestrzeń normalna jest przestrzenią Tichonowa.
- Twierdzenie Urysohna: dla rozłącznych podzbiorów domkniętych istnieje funkcja ciągła oddzielająca te zbiory.
- Twierdzenie Tietzego-Urysohna: istnieje funkcja ciągła przedłużająca funkcję ciągłą z podzbioru domkniętego.
- Nie ma ośrodkowej przestrzeni normalnej zawierającej domkniętą dyskretną podprzestrzeń mocy continuum.
- Domknięte podprzestrzenie przestrzeni normalnej są normalne.
- Podprzestrzeń przestrzeni normalnej nie zawsze jest normalna.
Produkty przestrzeni normalnych
Prosta Sorgenfreya jest przestrzenią normalną, ale jej kwadrat nie jest normalny. A.H. Stone wykazał, że iloczyn nieprzeliczalnie wielu niezwartych przestrzeni metrycznych również nie jest przestrzenią normalną. Z drugiej strony, produkt jest przestrzenią normalną.
