Przestrzeń regularna

Przestrzeń regularna a przestrzeń T₃

Przestrzeń regularna i przestrzeń T₃ to pojęcia w topologii związane z oddzielaniem punktów od zbiorów domkniętych za pomocą zbiorów otwartych. W przestrzeni topologicznej $X$, punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych, jeśli dla każdego zbioru domkniętego $F$ i punktu $x\backslash in\; X\backslash setminus\; F$ można znaleźć rozłączne zbiory otwarte $U$ i $V$, gdzie $x\backslash in\; U$ oraz $F\backslash subseteq\; V$.

Dyskusja nazewnictwa

Terminologia związana z przestrzeniami regularnymi i T₃ bywa niejednoznaczna. Kuratowski definiuje przestrzeń regularną jako taką, w której istnieje możliwość oddzielania punktów od zbiorów domkniętych, podczas gdy Engelking uważa, że obie definicje są równoważne. Z tego powodu ważne jest, aby zwracać uwagę na kontekst terminów w literaturze topologicznej.

Przykłady przestrzeni

• Większość naturalnych przestrzeni topologicznych, takich jak przestrzeń liczb rzeczywistych czy przestrzenie metryczne, jest przestrzenią T₃.
• Przestrzeń Tichonowa jest przestrzenią regularną, ale nie wszystkie przestrzenie regularne są T₃. Przykładem jest zbiór $M=:\backslash \{(x,\; y)\backslash in\; \backslash mathbb\{R\}^2:y\backslash geqslant\; 0\backslash \}\backslash cup\backslash \{(0,-1)\backslash \}$, gdzie wprowadzono specjalną topologię, która czyni go przestrzenią regularną, ale nie Tichonowa.
• Przykładem przestrzeni Hausdorffa, która nie jest regularna, jest zbiór $X=[0,1]$ z rozszerzoną topologią, która nie spełnia warunków regularności.

Własności przestrzeni regularnych

• Przestrzeń topologiczna $X$ jest regularna, gdy dla każdego punktu $x\backslash in\; X$ i otoczenia $V$, istnieje otoczenie $U$ punktu $x$, którego domknięcie jest zawarte w $V$.
• Każda regularna przestrzeń topologiczna, która jest przeliczalna lub spełnia drugi aksjomat przeliczalności, jest również przestrzenią normalną.
• Podzbiór przestrzeni T₃ jest ponownie przestrzenią T₃, co oznacza, że właściwość T₃ jest dziedziczna.
• Iloczyn kartezjański przestrzeni T₃ z topologią Tichonowa również jest przestrzenią T₃.