Przestrzeń Liniowa
Przestrzeń liniowa (wektorowa) to struktura algebraiczna składająca się z dwóch zbiorów: wektorów i skalarów, oraz dwóch działań: dodawania wektorów i mnożenia przez skalary. Elementy zbioru wektorów tworzą wektory, a elementy zbioru skalarnych są nazywane skalarami.
Przestrzenie liniowe są kluczowe w algebrze liniowej i stanowią fundament wielu dziedzin matematyki, takich jak geometria, analiza i fizyka matematyczna. Znajdują zastosowanie m.in. w mechanice kwantowej oraz kryptologii.
Definicja
Niech (K, +, ·) będzie ciałem (np. liczb rzeczywistych R lub zespolonych C). Przestrzenią liniową nad ciałem K nazywamy zbiór V z określonymi działaniami:
- Dodawanie wektorów: V × V → V, gdzie dla wektorów u, v ∈ V mamy u = v + w.
- Mnożenie przez skalar: K × V → V, gdzie dla wektora v ∈ V i skalaru a ∈ K mamy u = a·v.
Te działania muszą spełniać określone aksjomaty, takie jak łączność, przemienność oraz istnienie elementu neutralnego i odwrotnego w dodawaniu.
Rodzaje Przestrzeni Liniowych
Przestrzeń liniowa rzeczywista to przestrzeń zdefiniowana nad ciałem liczb rzeczywistych, podczas gdy przestrzeń liniowa zespolona odnosi się do ciała liczb zespolonych.
Podprzestrzenie i Baza
Podprzestrzeń to niepusty podzbiór W przestrzeni V, który jest zamknięty na dodawanie wektorów i mnożenie przez skalar. Baza przestrzeni V to liniowo niezależny zbiór wektorów, który rozciąga przestrzeń V. Każda przestrzeń liniowa ma bazę, a wszystkie bazy danej przestrzeni są równoliczne.
Przekształcenia Liniowe
Przekształcenie liniowe między przestrzeniami V i W zachowuje strukturę tych przestrzeni. Zbiór wszystkich przekształceń liniowych z V do W tworzy przestrzeń liniową, a izomorfizm to przekształcenie liniowe, które jest bijekcją.
Iloczyn Przestrzeni Liniowych
Iloczyn kartezjański przestrzeni V i W może być również przestrzenią liniową, definiując odpowiednio działania dodawania i mnożenia przez skalar.
Rozszerzenia i Uogólnienia
Przestrzenie liniowe mogą być wzbogacane o dodatkowe struktury, takie jak topologia, norma czy iloczyn skalarny. Przykładem są przestrzenie unormowane oraz Hilbertowskie, które są pełne względem metryki generowanej przez normę.
Wymiar Przestrzeni Liniowej
Wymiar przestrzeni liniowej to moc jej bazy, oznaczany symbolem dim V. Wymiar rzeczywistej przestrzeni R³ wynosi trzy, ponieważ każdy element tej przestrzeni można przedstawić jako kombinację wektorów w bazie.
Przestrzenie liniowe można badać w kontekście różnych struktur, co sprawia, że są one niezwykle użyteczne w matematyce i pokrewnych dziedzinach.
