Przestrzeń Lindelöfa

Przestrzenie Lindelöfa

Przestrzenie Lindelöfa to rodzaj przestrzeni topologicznej, w której z każdego pokrycia otwartego można wybrać podpokrycie przeliczalne. Termin ten został wprowadzony przez Pawieła Aleksandrowa i Pawieła Urysohna w 1929 roku, a jego nazwa pochodzi od fińskiego matematyka Ernsta Lindelöfa, który w 1903 roku dowiódł tej własności dla przestrzeni euklidesowych.

Przykłady

• Zbiór liczb rzeczywistych z topologią naturalną oraz z topologią strzałki jest przestrzenią Lindelöfa.
• Płaszczyzna Niemyckiego jest przestrzenią ośrodkową, która nie jest przestrzenią Lindelöfa.

Własności

• Każda przestrzeń zwarta jest przestrzenią Lindelöfa.
• Przestrzeń spełniająca drugi aksjomat przeliczalności jest przestrzenią Lindelöfa, ale przestrzeń Lindelöfa nie musi spełniać tego aksjomatu.
• Każda domknięta podprzestrzeń przestrzeni Lindelöfa jest również przestrzenią Lindelöfa.
• Suma rodziny niepustych przestrzeni topologicznych jest przestrzenią Lindelöfa, gdy zbiór indeksujący jest przeliczalny i każdy składnik jest przestrzenią Lindelöfa.
• W każde pokrycie otwarte regularnej przestrzeni Lindelöfa można wpisać pokrycie otwarte lokalnie skończone.
• Każda regularna przestrzeń Lindelöfa jest normalna.
• Produkt przestrzeni Lindelöfa niekoniecznie jest przestrzenią Lindelöfa.
• Otwarta podprzestrzeń przestrzeni Lindelöfa nie musi być przestrzenią Lindelöfa.
• Ciągły obraz przestrzeni Lindelöfa jest przestrzenią Lindelöfa.
• Każda przeliczalnie zwarta przestrzeń Lindelöfa jest zwarta.
• Przestrzeń metryczna jest przestrzenią Lindelöfa, gdy spełnia drugi aksjomat przeliczalności i jest ośrodkowa.

Podsumowanie

Przestrzenie Lindelöfa mają istotne właściwości w teorii topologii, obejmujące zwartość, regularność i normalność. Wiele przykładów ilustruje różnorodność tych przestrzeni oraz ich zastosowania w matematyce.