Przestrzeń dyskretna

Przestrzeń dyskretna

Przestrzeń dyskretna to przestrzeń topologiczna $(X,\; tau)$, w której punkty zbioru $X$ są „oddzielone”.

Definicje

Na zbiorze $X\; definiuje\; się:$

• Topologię dyskretną: każdy podzbiór $X$ jest otwarty i zamknięty.
• Jednostajność dyskretną: każdy nadzbiór przekątnej $big\{(x,\; x)colon\; x\; in\; Xbig\}$ jest otoczeniem.
• Przestrzeń metryczną dyskretną: metryka $d$ definiowana jako $d(x,y)\; =\; 1$ dla $x\; ne\; y$ oraz $d(x,x)\; =\; 0$.
• Jednostajnie dyskretną: istnieje $r\; >\; 0$, tak że $x\; =\; y$ lub $d(x,\; y)\; >\; r$.

Własności

W dyskretnej przestrzeni metrycznej jednostajność i topologia są zgodne. Jednak topologia niedyskretnej przestrzeni jednostajnej może być dyskretna. Przykładem może być zbiór $X\; =\; left\{tfrac\{1\}\{n\}colon\; n\; =\; 1,\; 2,\; 3,\; dotsright\}$, który jest dyskretny topologicznie, ale nie jednostajnie ani metrycznie.

Twierdzenia

• Wymiar topologiczny przestrzeni dyskretnej wynosi 0.
• Przestrzeń topologiczna jest dyskretna $iff$ otwarte są zbiory jednoelementowe.
• Każdy punkt jest izolowany i nie ma punktów skupienia.
• Zbiory jednoelementowe tworzą bazę topologii dyskretnej.
• Przestrzeń jednostajna jest dyskretna $iff$ przekątna jest otoczeniem.
• Każda przestrzeń dyskretna spełnia aksjomaty oddzielania, jest Hausdorffa i normalna.
• Przestrzeń dyskretna jest zwarta $iff$ jest skończona.
• Każda dyskretna przestrzeń jednostajna lub metryczna jest zupełna i całkowicie ograniczona $iff$ jest skończona.
• Przestrzeń dyskretna spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności.
• Przestrzeń dyskretna jest Lindelöfa $iff$ jest przeliczalna.
• Każda przestrzeń o co najmniej dwóch punktach jest całkowicie niespójna.
• Każda niepusta przestrzeń dyskretna jest drugiej kategorii.
• Dowolne dwie równoliczne przestrzenie dyskretne są homeomorficzne.
• Skończona przestrzeń dyskretna jest metryzowalna.
• Iloczyn kartezjański przestrzeni dyskretnych z topologią produktową jest przestrzenią dyskretną.
• Przekształcenie przestrzeni dyskretnej w inną przestrzeń topologiczną jest ciągłe.
• Odwzorowanie przestrzeni jednostajnej dyskretnej w inną przestrzeń jednostajną jest jednostajnie ciągłe.
• Odwzorowanie przestrzeni $Y$ w przestrzeń dyskretną $X$ jest ciągłe $iff$ jest lokalnie stałe.