Przekształcenie geometryczne

Przekształcenie geometryczne

Przekształcenie geometryczne to funkcja, która zamienia zbiór punktów (figurę geometryczną) w inny zbiór punktów w przestrzeni geometrycznej, takiej jak przestrzeń euklidesowa czy rzutowa. W geometrii elementarnej zakłada się, że przekształcenie jest funkcją określoną na całej przestrzeni euklidesowej, a figury geometryczne to figury płaskie lub przestrzenne. Przekształcenia geometryczne są zazwyczaj uznawane za niezdegenerowane, co oznacza, że są różnowartościowe lub wzajemnie jednoznaczne.

W kontekście przekształceń geometrycznych często używane są pojęcia takie jak: obraz, punkt stały, odwracalność i odwrotność.

Przykład

Rozważmy okrąg $O\; =\; o(S,\; r)$ oraz styczną do niego w punkcie $p\_1$, oznaczoną jako prosta $L$. Niech punkt $q$ będzie końcem średnicy wychodzącej z $p\_1$. Odwzorowanie $F\backslash colon\; L\; \backslash to\; O$ przekształcające dowolny punkt $p\; \backslash in\; L$, różny od $q$, w punkt $F(p)\; \backslash in\; O$, wyznaczany przez przecięcie odcinka $\backslash overline\{pq\}$ z okręgiem, jest różnowartościowe, ale nie jest „na”. Punktem stałym $F$ jest $p\_1$, a punkt $q$ nie jest obrazem żadnego punktu prostej $L$.

Rodzaje przekształceń geometrycznych

Do najważniejszych przekształceń geometrycznych wzajemnie jednoznacznych w płaszczyźnie należą:

• przesunięcie równoległe
• symetria środkowa
• obrót dokoła punktu
• symetria osiowa
• jednokładność
• powinowactwo osiowe
• przekształcenie liniowe
• przekształcenie afiniczne

W przestrzeni wyróżnia się następujące ważne przekształcenia geometryczne:

• obrót dokoła prostej
• podobieństwo spiralne
• powinowactwo płaszczyznowe
• ruch śrubowy
• symetria płaszczyznowa