Prosta potęgowa
Prosta potęgowa, znana również jako oś potęgowa, to miejsce geometryczne punktów mających równe potęgi względem dwóch okręgów. Oznacza to, że styczne do tych okręgów mają tę samą długość. Środek potęgowy to punkt przecięcia co najmniej dwóch osi potęgowych wyznaczonych przez co najmniej trzy okręgi. Osie potęgowe są użyteczne w dowodzeniu współliniowości punktów oraz współpękowości prostych.
Twierdzenie
Prosta potęgowa jest prostopadła do prostej łączącej środki okręgów.
Dowód oparty jest na rozważaniach dotyczących punktu leżącego na prostej łączącej środki okręgów. Przykładowo, dla punktu P leżącego na odcinku między środkami okręgów, można wykazać, że jego potęga względem obu okręgów jest taka sama, co prowadzi do wniosku, że istnieje tylko jeden taki punkt na prostej potęgowej.
Właściwości
- W przypadku stycznych okręgów, ich prosta potęgowa jest wspólną styczną przez punkt styczności.
- Jeśli okręgi przecinają się w dwóch punktach, to prosta potęgowa przechodzi przez te punkty przecięcia.
- Gdy okręgi nie mają punktów wspólnych, prosta potęgowa jest prostopadła do prostej łączącej ich środki i przechodzi przez środek wspólnej stycznej.
- Dla trzech okręgów o niewspółliniowych środkach, osie potęgowe tych okręgów przecinają się w jednym punkcie, którego potęgi względem wszystkich trzech okręgów są równe.
- Dla trzech okręgów o współliniowych środkach, proste potęgowe par tych okręgów są równoległe.
Podsumowanie
Prosta potęgowa jest kluczowym pojęciem w geometrii euklidesowej, które łączy różne właściwości okręgów i ich relacje. Dzięki tym właściwościom można wykazywać istotne twierdzenia dotyczące współliniowości punktów i współpękowości prostych w kontekście okręgów.
