Proces stacjonarny

Procesy stacjonarne i niestacjonarne

Proces stacjonarny to proces stochastyczny, w którym wszystkie momenty oraz momenty łączne pozostają stałe. W przypadku, gdy średnia, wariancja i funkcja autokorelacji zmieniają się w czasie, proces nazywa się niestacjonarnym. Proces losowy, w którym średnia i funkcja autokorelacji są niezależne od czasu, określa się jako słabo stacjonarny.

W matematyce, proces ściśle stacjonarny charakteryzuje się niezmiennością rozkładów gęstości prawdopodobieństwa w zależności od przesunięcia czasowego lub przestrzennego. Przykładem procesu stacjonarnego jest szum biały, podczas gdy proces jednokrotnego uderzenia w talerze perkusyjne ilustruje proces niestacjonarny.

Słaba stacjonarność

Słaba stacjonarność, znana także jako stacjonarność w szerszym sensie, odnosi się do procesów, w których pierwszy i drugi moment pozostają stałe w czasie. Dla ciągłego w czasie procesu losowego $x(t)$ stacjonarność w szerszym sensie implikuje:

• Średnia: $mathbb\{E\}\{x(t)\}\; =\; m\_x(t)\; =\; m\_x(t\; +\; tau)\; ,,\; forall\; ,\; tau\; in\; mathbb\{R\}$
• Funkcja korelacji: $mathbb\{E\}\{x(t\_1)x(t\_2)\}\; =\; R\_x(t\_1,\; t\_2)\; =\; R\_x(t\_1\; +\; tau,\; t\_2\; +\; tau)\; =\; R\_x(t\_1\; –\; t\_2,\; 0)\; ,,\; forall\; ,\; tau\; in\; mathbb\{R\}$

Pierwsza zasada oznacza, że wartość średnia jest stała, a druga wskazuje, że funkcja korelacji zależy jedynie od różnicy czasów $t\_1$ i $t\_2$. Często zapisuje się to jako $R\_x(tau)$, gdzie $tau\; =\; t\_1\; –\; t\_2.$

W kontekście dyskretnych procesów stacjonarnych, gdy przestrzeń zdarzeń jest także dyskretna, mówimy o schemacie Bernoulliego. W przypadku $N=2$ proces ten nazywa się procesem Bernoulliego.

Kategoria: Procesy stochastyczne