Wprowadzenie do problemów P, NP i NP-zupełnych
Problemy klasy NP to problemy decyzyjne, których rozwiązania można zweryfikować w czasie wielomianowym. Klasa P obejmuje problemy, które można rozwiązać w czasie wielomianowym. Kluczową różnicą między tymi klasami jest to, że w P można znaleźć rozwiązanie w czasie wielomianowym, podczas gdy w NP jedynie weryfikacja podanego rozwiązania ma taką złożoność.
Przykład problemu NP
Rozważmy problem: „Czy istnieje niepusty podzbiór w zbiorze liczb całkowitych, którego suma wynosi zero?” Trudno jest znaleźć takie rozwiązanie w czasie wielomianowym, ale gdy podamy kandydat na rozwiązanie, możemy weryfikować poprawność w czasie liniowym, co klasyfikuje ten problem jako NP.
Definicja formalna NP
Klasa NP jest zbiorem problemów decyzyjnych rozpoznawanych przez niedeterministyczną maszynę Turinga w czasie wielomianowym. Można ją również zdefiniować jako zbiór problemów, dla których istnieje weryfikator działający w czasie wielomianowym.
Weryfikacja problemów z klasy NP
Problemy z klasy NP można weryfikować za pomocą tzw. „świadków”. Świadek to potencjalne rozwiązanie, które pozwala na szybkie potwierdzenie, że odpowiedź na problem jest pozytywna. Na przykład, w problemie sumy podzbioru, jeśli podzbiór sumuje się do zera, to jest on świadkiem.
Prognozy dotyczące P vs NP
- W 2000 roku Buss przewidywał, że P≠NP zostanie potwierdzone w ciągu 20 lat.
- W 2001 roku 40 z 97 ekspertów sądziło, że problem zostanie rozwiązany do 2039 roku.
- Zgodnie z New Scientist z 2010 roku, było 50% szans na rozwiązanie problemu P=NP przed 2024 rokiem.
- W 2011 roku 53% ekspertów uważało, że problem zostanie rozwiązany przed 2100 rokiem.
Przykłady problemów NP
- Wszystkie problemy z klasy P
- Wersja decyzyjna problemu faktoryzacji
- Problem izomorfizmu grafów
- Problemy NP-zupełne, takie jak problem komiwojażera i problem spełnialności.
Własności klasy NP
Klasa NP jest zamknięta na operacje takie jak suma, przecięcie, konkatenacja i domknięcie Kleene’ego. Nieznane jest, czy NP jest zamknięte na dopełnienie, co stanowi problem NP vs. co-NP.
Znaczenie problemów NP
Problemy w klasie NP są kluczowe w informatyce. Wiele z nich jest trudnych do rozwiązania w czasie wielomianowym, co prowadzi do pytania, czy wszystkie problemy NP można rozwiązać w czasie wielomianowym (problem P vs NP).
Podsumowanie
Klasa NP obejmuje wiele naturalnych problemów algorytmicznych, a jej zrozumienie jest istotne dla teorii złożoności obliczeniowej. Obie definicje klasy NP są równoważne i stanowią fundament dla dalszych badań w dziedzinie algorytmów i teorii złożoności.
