Praporządek

Praporządek

Praporządek, znany również jako kwaziporządek, to relacja, która jest zwrotna i przechodnia. Można go także określić jako relację przeciwzwrotną i przechodnią, co prowadzi do ostrych porządków częściowych. Poniżej przedstawiono przykłady praporządków oraz ich zastosowanie w matematyce.

Przykłady praporządków

• Częściowy porządek jest szczególnym przypadkiem praporządku.
• Każda relacja równoważności jest praporządkiem.
• Przykład relacji na zbiorze $X=\backslash \{a,b,c,d\backslash \}$: $R=\backslash \{(a,b),(a,c),(a,d),(b,d),(c,d),(b,c),(c,b)\backslash \}$. Relacja $R$ jest praporządkiem, ale nie porządkiem częściowym.
• Dla zbioru $\backslash mathbb\; N^\backslash mathbb\; N$ funkcji z $\backslash mathbb\; N$ określamy relację $\backslash leqslant^*$, gdzie $f\backslash leqslant^*\; g$ oznacza, że po pewnym $N$, $f(n)\backslash leqslant\; g(n)$. To również jest praporządkiem.
• Na zbiorze $[\backslash mathbb\; N]^\backslash omega$ nieskończonych podzbiorów $\backslash mathbb\; N$ definiujemy relację $\backslash subseteq^*$, gdzie $A\backslash subseteq^*\; B$ oznacza, że różnica $A\backslash setminus\; B$ jest skończona. To również jest praporządkiem.
• W monoidzie $M$ relacja $x\; \backslash leqslant\; y$ definiowana jako $xz=y$ dla pewnego $z\; \backslash in\; M$ jest praporządkiem.
• W grafie skierowanym $G=(V,E)$, relacja $x\; \backslash leqslant\; y$ oznaczająca istnienie drogi z $x$ do $y$ jest praporządkiem.
• W rzeczywistej przestrzeni unormowanej $X$, klin $K$ definiuje relację $x\backslash leqslant\; y\; \backslash iff\; y-x\; \backslash in\; K$, która jest praporządkiem.

Redukcja do porządków

W pewnych obszarach matematyki, takich jak teoria forsingu, praporządki traktowane są jako porządki częściowe poprzez utożsamienie elementów, które powinny być równe. Dla praporządku $(P,\; \backslash sqsubseteq)$ zdefiniowana jest relacja równoważności $\backslash equiv$. Następnie można zdefiniować relację binarną $\backslash leqslant$ na przestrzeni ilorazowej $P/\backslash equiv$, co prowadzi do uzyskania porządku częściowego.

Funkcja przyporządkowująca praporządkom porządki częściowe definiowana jest jako $F$. Dla funkcji monotonicznej $f\backslash colon\; X\; \backslash to\; Y$ istnieje odpowiadająca funkcja $g\backslash colon\; FX\; \backslash to\; FY$. Przyporządkowanie $F$ działa jako funktor z kategorii praporządków do kategorii posetów, co jest istotne w badaniach nad strukturami porządkowymi.