Powierzchnia

Powierzchnia

Powierzchnia jest zbiorem punktów, wokół którego można zbudować niewielką sferę, a jej przecięcie z tym zbiorem daje jedynie obiekty jednowymiarowe, czyli krzywe. Traktuje się ją jako trójwymiarowy odpowiednik krzywej oraz potoczne określenie pola powierzchni.

Definicja formalna

Powierzchnia to continuum o wymiarze 2, w którym każdy punkt ma otoczenie, którego brzeg nie zawiera żadnego continuum o wymiarze 2 lub wyższym, ale zawiera continuum o wymiarze 1. Powierzchnie mogą również rozgałęziać się.

Klasyfikacja powierzchni w topologii algebraicznej

Zwarte, domknięte powierzchnie (bez brzegu) można klasyfikować na podstawie relacji równoważności wynikającej z homeomorfizmu. Twierdzenie o klasyfikacji powierzchni wskazuje, że istnieje przeliczalnie wiele klas równoważności, z których każda ma reprezentanta jednej z trzech postaci:

• Sfera $S^2$
• Suma spójna (wzdłuż $S^1$) g torusów dla $g\; \backslash geqslant\; 1$
• Suma spójna (wzdłuż $S^1$) k kopii $\backslash mathbb\{R\}P^2$ dla $k\; \backslash geqslant\; 1$

Klasyfikacja ta opiera się na dwóch informacjach: genusu oraz orientowalności przestrzeni. Przestrzenie orientowalne mają nietrywialną najwyższą grupę homologii $H\_2(\backslash Sigma\_g)\; =\; \backslash mathbb\{Z\}$, podczas gdy nieorientowalne mają $H\_2(\backslash Gamma\_k)\; =\; 0$.

Przykłady powierzchni

• helikoida
• hiperboloida
• płaszczyzna
• powierzchnia stożkowa
• powierzchnia wielościenna
• rogata sfera Alexandera
• sfera
• torus