Potencjał

Potencjał i energia potencjalna

Potencjał, z łaciny „potentia”, to pole skalarne opisujące pole wektorowe, zwane energią potencjalną w przypadku pól sił, takich jak grawitacyjne, elektrostatyczne czy sprężyste. Pole magnetyczne nie ma potencjału, ponieważ jego rotacja nie zeruje się w każdym punkcie. Umożliwienie istnienia potencjału jest możliwe jedynie, gdy pole wektorowe jest bezwirowe.

Definicja potencjału

Potencjał skalarnego pola wektorowego $\backslash vec\; A(\backslash vec\; r)$ definiuje się jako skalar $\backslash varphi(\backslash vec\; r)$, którego gradient odpowiada wektorowi pola po zmianie zwrotu:

$\backslash vec\; A\; (\backslash vec\; r)\; =\; -\backslash nabla\; \backslash varphi\; (\backslash vec\; r).$

Wartość potencjału nie jest jednoznaczna, ponieważ można dodać dowolną stałą do $\backslash varphi(\backslash vec\; r)$ bez wpływu na pole.

Warunek istnienia potencjału

Potencjał istnieje, jeśli rotacja pola wektorowego jest zerowa:

$\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash vec\; A\; (\backslash vec\; r)\; =\; \backslash vec\; 0.$

Energia potencjalna

W polu sił, które jest niezmienne w czasie, energia potencjalna $\backslash varphi(\backslash vec\; r)$ związana jest z położeniem ciała:

$\backslash vec\; F\; (\backslash vec\; r)\; =\; -\backslash nabla\; \backslash varphi\; (\backslash vec\; r).$

Pola sił, takie jak grawitacyjne i elektrostatyczne, są polami zachowawczymi, co oznacza, że całkowita energia mechaniczna ciała nie zmienia się podczas ruchu w tych polach.

Obliczanie potencjału

Potencjał w punkcie $\backslash vec\; r$ oblicza się jako całkę krzywoliniową od punktu odniesienia $\backslash vec\; r\_0$:

$\backslash varphi(\backslash vec\; r)\; =\; \backslash int\backslash limits\_\{L(\backslash vec\; r,\backslash vec\; r\_0)\}\; \backslash vec\{A\}(\backslash vec\; r)\; d\backslash vec\{r\}.$

Potencjał pola centralnego

Pola centralne, takie jak grawitacyjne i elektrostatyczne, mają potencjał zależny od odległości od centrum:

$\backslash vec\; F\; (\backslash vec\; r)\; =\; -\backslash frac\{d\backslash varphi(r)\}\{dr\}\; \backslash frac\{\backslash vec\; r\}\{r\}.$

Przykłady potencjałów pól fizycznych

• Pole grawitacyjne
• Pole elektryczne

Za punkt odniesienia do obliczeń często przyjmuje się nieskończoność lub w elektrotechnice Ziemię.

Potencjał pola elektrycznego

• Potencjał elektryczny definiuje się jako stosunek energii potencjalnej ładunku do wartości ładunku:

$\backslash varphi\_E\; =\; \backslash frac\{E\_p\}\{q\}.$

• Inna definicja to stosunek pracy wykonanej przez siłę elektryczną przy przenoszeniu ładunku do wartości ładunku:

$\backslash varphi\_P\; =\; \backslash frac\{W\_\{P\backslash to\backslash infty\}\}\{q\}.$

Jednostką potencjału elektrycznego jest wolt (V).

Potencjał pola grawitacyjnego

• Potencjał pola grawitacyjnego $\backslash varphi\_g\; (\backslash vec\; r)$ jest taki, że:

$\backslash vec\; g\; (\backslash vec\; r)\; =\; -\backslash nabla\; \backslash varphi\_g\; (\backslash vec\; r).$

Reklama
• Dla masy $M$ potencjał wynosi:

$\backslash varphi\_g\; (r)\; =\; -\backslash frac\{GM\}\{r\}.$