Postulat Bertranda
Postulat Bertranda, znany również jako twierdzenie Czebyszewa, to kluczowe twierdzenie w teorii liczb. Zostało sformułowane w XIX wieku i dotyczy istnienia liczb pierwszych.
Twierdzenie
Dla każdej liczby naturalnej ( n geq 1 ) istnieje przynajmniej jedna liczba pierwsza, która jest większa od ( n ) i jednocześnie mniejsza lub równa ( 2n ). Można to zapisać jako:
- ( forall_{n geq 1}; pi(2n) > pi(n) )
- ( forall_{n geq 1};exists_{p in mathbb{P}}; 2n geq p > n )
Własności
Dodatkowo udowodniono, że:
- ( forall_{n > 5}; pi(2n) – pi(n) geq 2 )
- ( forall_{n > 8}; pi(2n) – pi(n) geq 3 )
- ( forall_{n > 14}; pi(2n) – pi(n) geq 4 )
- ( forall_{n > 20}; pi(2n) – pi(n) geq 5 )
Każda z tych nierówności wskazuje na istnienie „odpowiedniej wartości” dla liczby po prawej stronie.
Historia postulatu
W 1845 roku Joseph Bertrand sformułował hipotezę, że dla każdej liczby całkowitej ( n > 3 ) istnieje liczba pierwsza ( p ), dla której zachodzi nierówność ( n < p < 2n - 2 ). Twierdzenie Bertranda jest słabszą wersją tej hipotezy.Bertrand zweryfikował swój postulat dla liczb całkowitych w przedziale ( [2, 3 cdot 10^6] ). W 1850 roku Pafnutij Czebyszew udowodnił prawdziwość postulatu.
