Postać Jordana

Postać Jordana macierzy

Postać Jordana to reprezentacja macierzy w specjalnej, prawie przekątniowej formie, związana z daną macierzą poprzez zmianę bazy. Nazwa pochodzi od francuskiego matematyka Camille’a Jordana. Dla kwadratowej macierzy $A$ postać Jordana zapisana jest jako:

$A\; =\; P\; J\; P^\{-1\},$
gdzie:

• $A$ – dana macierz,
• $P$ – macierz nieosobliwa zawierająca wektory własne,
• $J$ – poszukiwana macierz Jordana.

Macierz Jordana ma szczególną postać z klatkami Jordana na diagonali:

Każda klatka Jordana odpowiada jednej wartości własnej, z liczbą 1 powyżej przekątnej.

Rozkład Jordana

Rozkład Jordana przedstawia macierz $A$ jako iloczyn trzech macierzy:

$A\; =\; P\; J\; P^\{-1\}.$

Twierdzenie Jordana stwierdza, że nad ciałem algebraicznie domkniętym taki rozkład zawsze istnieje.

Podobieństwo macierzy

Dwie macierze $A$ i $B$ są podobne, jeśli mają taką samą postać Jordana. Można to zapisać jako:

$P\_A^\{-1\}\; A\; P\_A=J=P\_B^\{-1\}\; B\; P\_B.$

Potęgowanie macierzy

Potęgowanie macierzy w postaci Jordana jest stosunkowo proste:

Twierdzenie Jordana

Twierdzenie to dotyczy skończeniewymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem algebraicznie domkniętym. Stwierdza, że dla endomorfizmu $\backslash varphi$ istnieje baza, w której $\backslash varphi$ ma macierz w postaci klatkowej:

gdzie każda macierz $A\_i$ ma postać klatki Jordana. Wartości na diagonali $\backslash lambda\_i$ są wartościami własnymi endomorfizmu $\backslash varphi$, a ich liczba na przekątnej określa krotność wartości własnej.