Pole wektorowe

Pole wektorowe

Pole wektorowe to funkcja przyporządkowująca każdemu punktowi przestrzeni wektor o określonej wielkości. W kontekście matematycznym, pole wektorowe można zdefiniować na bazie teorii miary oraz przestrzeni Hilberta.

Definicja pola wektorowego

Rozważając przestrzeń z miarą $(X,\; \backslash mu)$, definiujemy rodzinę przestrzeni Hilberta $(H\_x)\_\{x\backslash in\; X\}$. Elementy produktu $\backslash prod\_\{x\backslash in\; X\}H\_x$ są nazywane polami wektorowymi. Rodzinę pól $\backslash mu$-mierzalnych określamy jako $\backslash Gamma=(h^\backslash alpha)\_\{\backslash alpha\; \backslash in\; \backslash Alpha\}$, która spełnia następujące warunki:

• Funkcja $X\backslash ni\; x\backslash mapsto\; (h^\backslash alpha(x)|h^\backslash beta(x))\_x\backslash in\backslash mathbb\{C\}$ jest $\backslash mu$-mierzalna dla $\backslash alpha,\; \backslash beta\backslash in\; \backslash Alpha.$
• $\backslash mbox\{lin\}\backslash \{(h^\backslash alpha(x))\_\{\backslash alpha\backslash in\backslash Alpha\}\backslash \}=H\_x$ dla każdego $x\backslash in\; X.$

Pole wektorowe $h\backslash in\; \backslash prod\_\{x\backslash in\; X\}H\_x$ nazywamy mierzalnym, jeśli wszystkie funkcje $x\backslash mapsto\; (h^\backslash alpha(x)|h^\backslash beta(x))\_x$ są $\backslash mu$-mierzalne. Pola $\backslash mu$-mierzalne tworzą podprzestrzeń liniową produktu $\backslash prod\_\{x\backslash in\; X\}H\_x.$

Przykłady pól wektorowych

W fizyce występują różne pola wektorowe, w tym:

• pole grawitacyjne – natężenie pola grawitacyjnego,
• pole elektryczne – natężenie pola elektrycznego,
• pole magnetyczne – indukcja magnetyczna,
• pole prędkości – prędkość przepływu płynu w przestrzeni.

Teoria pola to gałąź fizyki zajmująca się badaniem pól jako funkcji matematycznych.

Operacje różniczkowe na polach wektorowych

Dywergencja pola

Dywergencja pola wektorowego $\backslash mathbf\{A\}(\backslash vec\; r)=[A\_x(\backslash vec\; r),A\_y(\backslash vec\; r),A\_z(\backslash vec\; r)]$ w przestrzeni $\backslash mathbb\{R\}^3$ jest definiowana jako pole skalarne $\backslash phi(\backslash vec\; r)=\backslash mbox\{div\}\backslash ,\backslash mathbf\{A\}(\backslash vec\; r)=\backslash frac\{\backslash partial\; A\_x(\backslash vec\; r)\}\{\backslash partial\; x\}+\backslash frac\{\backslash partial\; A\_y(\backslash vec\; r)\}\{\backslash partial\; y\}+\backslash frac\{\backslash partial\; A\_z(\backslash vec\; r)\}\{\backslash partial\; z\}.$ Dywergencja jest różna od zera w punktach będących źródłami pola wektorowego, na przykład w przypadku ładunków elektrycznych.

Rotacja pola

Rotacja pola wektorowego $\backslash mathbf\{A\}(x,y,z)$ definiowana jest jako:

$\backslash mathbf\{B\}(x,y,z)=\backslash mbox\{rot\}\; \backslash mathbf\{A\}=\backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; A\_z\}\{\backslash partial\; y\}\; –\; \backslash frac\{\backslash partial\; A\_y\}\{\backslash partial\; z\}\backslash right)\; \backslash mathbf\{i\}\; +\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; A\_x\}\{\backslash partial\; z\}\; –\; \backslash frac\{\backslash partial\; A\_z\}\{\backslash partial\; x\}\backslash right)\; \backslash mathbf\{j\}\; +\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; A\_y\}\{\backslash partial\; x\}\; –\; \backslash frac\{\backslash partial\; A\_x\}\{\backslash partial\; y\}\backslash right)\; \backslash mathbf\{k\}.$

Rotacja wskazuje na wirujący charakter pola wektorowego w miejscu, gdzie rotacja jest różna od zera.