Pokrycie zbioru

Pokrycie zbioru

Pokrycie zbioru $Y$ w przestrzeni $X$ to rodzina zbiorów $(U\_s)\_\{s\backslash in\; S\}$, dla której $Y$ jest zawarty w sumie tych zbiorów: $Y\; \backslash subseteq\; \backslash bigcup\_\{s\backslash in\; S\}\; U\_s$. Zbiór $S$ stanowi indeksy tej rodziny.

Uwaga: W definicji pokrycia często wymaga się, aby $Y\; =\; \backslash bigcup\_\{s\; \backslash in\; S\}\; U\_s$.

Definicje

Pojęcie pokrycia jest istotne w kontekście topologii. Niech $(X,\; \backslash tau)$ oznacza przestrzeń topologiczną.

Pokrycie otwarte

Pokrycie $\backslash mathcal\{C\}\; \backslash subseteq\; 2^X$ jest nazywane pokryciem otwartym, gdy każdy jego element $C\; \backslash in\; \backslash mathcal\{C\}$ jest zbiorem otwartym: $C\; \backslash in\; \backslash tau$.

Pokrycie domknięte

Pokrycie $\backslash mathcal\{D\}\; \backslash subseteq\; 2^X$ określa się jako pokrycie domknięte, gdy każdy element $D\; \backslash in\; \backslash mathcal\{D\}$ jest zbiorem domkniętym: $X\; \backslash setminus\; D\; \backslash in\; \backslash tau$.

Pokrycia wpisane i podpokrycia

Niech $\backslash mathcal\{A\}=(A\_s)\_\{s\backslash in\; S\}$ oraz $\backslash mathcal\{B\}=(B\_t)\_\{t\backslash in\; T\}$ będą pokryciami zbioru $X$.

• Pokrycie $\backslash mathcal\{A\}$ nazywamy pokryciem wpisanym w $\backslash mathcal\{B\}$, jeśli: $\backslash bigwedge\_\{s\backslash in\; S\}\backslash bigvee\_\{t\_s\backslash in\; T\}\; A\_s\; \backslash subseteq\; B\_\{t\_s\}$.
• Pokrycie $\backslash mathcal\{A\}’=(A’\_s)\_\{s\backslash in\; S’\}$ jest podpokryciem pokrycia $\backslash mathcal\{A\}$, jeśli: $S’\; \backslash subset\; S\; \backslash wedge\; [s\; \backslash in\; S’\; \backslash Rightarrow\; A\_s’\; =\; A\_s]$.

Każde podpokrycie jest także wpisane w oryginalne pokrycie.

Pokrycie skończone

Pokrycie $\backslash mathcal\{A\}=(A\_s)\_\{s\backslash in\; S\}$ jest skończone, gdy zbiór $S$ jest skończony (zwykle $S\; =\; \backslash \{1,\; 2,\; \backslash dots,\; n\backslash \}$ dla pewnego naturalnego $n$).