Podstawa logarytmu naturalnego

Podstawa logarytmu naturalnego: liczba e

Liczba $\backslash mathrm\{e\}$, znana jako liczba Eulera, wynosi w przybliżeniu 2,718281828459. Jest to stała matematyczna, kluczowa w wielu dziedzinach matematyki i fizyki.

Definicje liczby e

Liczba $\backslash mathrm\{e\}$ może być zdefiniowana na kilka sposobów:

• Granica ciągu: $\backslash mathrm\{e\}\; =\; \backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash left(1+\backslash frac\{1\}\{n\}\backslash right)^n.$
• Suma szeregu: $\backslash mathrm\{e\}\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{n!\}.$
• Za pomocą całki: $\backslash int\backslash limits\_1^\{\backslash mathrm\{e\}\}\; \backslash frac\{1\}\{t\}\; \backslash ,\; dt\; =\; 1.$
• Za pomocą funkcji: $f(x)\; =\; x^\{1/x\}$, dla którego $\backslash mathrm\{e\}$ jest maksimum.

Własności liczby e

• Liczba $\backslash mathrm\{e\}$ jest niewymierna i przestępna.
• Podstawa funkcji wykładniczej: $(\backslash mathrm\{e\}^x)’\; =\; \backslash mathrm\{e\}^x.$
• Odwrotność do logarytmu naturalnego: $\backslash ln(\backslash mathrm\{e\}^x)\; =\; x.$
• Element wzoru Eulera: $\backslash mathrm\{e\}^\{\backslash mathrm\{i\backslash pi\}\}\; +\; 1\; =\; 0.$

Przykłady obliczeń liczby e

Istnieje wiele wzorów na obliczenie liczby $\backslash mathrm\{e\}$:

• $\backslash mathrm\{e\}\; =\; \backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; \backslash frac\{n\}\{\backslash sqrt[n]\{n!\}\}.$
• $\backslash mathrm\{e\}\; =\; 2\; +\; \backslash frac\{1\}\{1\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\; +\; \backslash frac\{2\}\{3\; +\; \backslash cdots\}\}\}.$

Kapitalizacja w banku jako interpretacja liczby e

Jeśli wpłacimy 1 złotówkę z rocznym oprocentowaniem 100% i obliczamy odsetki w różnych okresach, to przy ciągłej kapitalizacji otrzymamy $\backslash mathrm\{e\}$ złotych na koniec roku.

Dowód niewymierności liczby e

Dowód opiera się na przybliżeniach liczby $\backslash mathrm\{e\}$ jako sumy szeregu. Zakładając, że $\backslash mathrm\{e\}$ jest liczbą wymierną, dochodzimy do sprzeczności, co dowodzi, że $\backslash mathrm\{e\}$ jest niewymierna.

Liczba $\backslash mathrm\{e\}$ jest fundamentalnym elementem w matematyce, a jej różnorodne definicje i własności czynią ją niezwykle interesującą i ważną.