Podprzestrzeń liniowa

Podprzestrzeń liniowa

Podprzestrzeń liniowa to podzbiór przestrzeni liniowej, który sam jest przestrzenią liniową, dziedzicząc działania z przestrzeni wyjściowej. Podzbiór $U$ przestrzeni liniowej $V$ jest podprzestrzenią liniową, jeśli spełnia następujące warunki:

• $0\; \backslash in\; U$,
• $a\backslash mathbf\; u\; \backslash in\; U$ dla każdego $\backslash mathbf\; u\; \backslash in\; U$ i skalaru $a\; \backslash in\; K$,
• $\backslash mathbf\; u\; +\; \backslash mathbf\; v\; \backslash in\; U$ dla wszystkich $\backslash mathbf\; u,\; \backslash mathbf\; v\; \backslash in\; U$.

Podprzestrzeń jest zamknięta na mnożenie przez skalar i dodawanie wektorów, a jej aksjomaty wynikają z faktu, że jest podzbiorem $V$.

Przykłady

• W każdej przestrzeni liniowej $V$ zbiory $\backslash \{\backslash mathbf\; 0\backslash \}$ (trywialna) oraz cała przestrzeń $V$ (niewłaściwa) są podprzestrzeniami.
• W $\backslash mathbb\; R^2$ zbiór $[t,\; 3t]$ dla $t\; \backslash in\; \backslash mathbb\; R$ tworzy jednowymiarową podprzestrzeń (prostą).
• W $\backslash mathbb\; R^3$ zbiór $[t,\; 3t,\; s]$ (gdzie $t,\; s$ są rzeczywiste) jest dwuwymiarową podprzestrzenią (płaszczyzną).
• W $\backslash mathbb\; R^\backslash mathbb\{N\}$ zbiór ciągów stałych oraz zbieżnych są podprzestrzeniami liniowymi.

Działania na podprzestrzeniach

Część wspólna dowolnej liczby podprzestrzeni liniowych jest również podprzestrzenią. Suma algebraiczna podprzestrzeni $U\_1,\; \backslash ldots,\; U\_n$ definiuje się jako:

$U\_1+\backslash ldots\; +U\_n\; =\; \backslash \{\backslash mathbf\; u\_1\; +\backslash ldots\; +\; \backslash mathbf\; u\_n\; :\; \backslash mathbf\; u\_i\; \backslash in\; U\_i\backslash \}.$

Suma ta jest podprzestrzenią liniową przestrzeni $V$.

Wymiar i kowymiar

Wymiar podprzestrzeni liniowej $U$ w przestrzeni $V$ oznaczany jest $\backslash dim$. Między wymiarami przestrzeni $U\; +\; W$ i $U\; \backslash cap\; W$ zachodzi związek:

$\backslash dim(U\; +\; W)\; +\; \backslash dim(U\; \backslash cap\; W)\; =\; \backslash dim\; U\; +\; \backslash dim\; W.$

Kowymiar podprzestrzeni $U$ w $V$ to wymiar przestrzeni ilorazowej $V/U$, określany jako:

$\backslash mathrm\{codim\}\backslash ;\; U\; =\; \backslash dim\; V\; –\; \backslash dim\; U.$

Podprzestrzeń generowana przez zbiór wektorów

Podprzestrzeń generowana przez zbiór $A$ w przestrzeni $V$ to zbiór wszystkich kombinacji liniowych elementów $A$, oznaczany jako $\backslash mathrm\{lin\}\backslash ,\; A$. Jest to najmniejsza podprzestrzeń, która zawiera zbiór $A$.

Jeśli $A$ generuje przestrzeń $V$, to niekoniecznie jest jej bazą. Warunki równoważne do tego, by $A$ było bazą, to:

1. zbiór $A$ jest liniowo niezależny,
2. każdy wektor przestrzeni $V$ można przedstawić jako kombinację liniową elementów zbioru $A$.

Podsumowanie

Podprzestrzenie liniowe są kluczowym pojęciem w teorii przestrzeni liniowych, pozwalając na analizę zachowań wektorów i ich kombinacji. Ich definicje oraz własności są fundamentem wielu dalszych badań i zastosowań w matematyce i pokrewnych dziedzinach.