Podobieństwo (przekształcenie geometryczne)

Podobieństwo w geometrii

Podobieństwo to przekształcenie geometryczne, które zachowuje stosunek odległości pomiędzy punktami. Oznacza to, że kształt figur pozostaje niezmieniony, chociaż ich wymiary mogą się różnić. Dwie figury, które można przekształcić jedna w drugą poprzez podobieństwo, nazywamy figurami podobnymi.

Definicja

Podobieństwo definiuje się jako przekształcenie przestrzeni metrycznej $(X,d)$, które spełnia warunek:

$d(M’,N’)\; =\; k\; \backslash cdot\; d(M,N),$

gdzie $M$ i $N$ to punkty, $M’$ i $N’$ to ich obrazy, a $d$ to odległość między punktami. Liczba $k\; >\; 0$ określa skalę podobieństwa. Gdy $k=1$, mamy do czynienia z izometrią. Przestrzenią $X$ mogą być prosta, płaszczyzna lub przestrzeń trójwymiarowa.

Relacja podobieństwa definiuje, że dwie figury są podobne, jeśli istnieje przekształcenie, które jedną figurę zmienia w drugą. Symbolicznie, podobieństwo figur $A$ i $B$ zapisujemy jako $A\; \backslash sim\; B.$

Przykłady figur podobnych

• Odcinki
• Okręgi
• Koła
• Sfery i kule
• Wielokąty foremne o tej samej liczbie boków
• Wielościany foremne o tej samej liczbie ścian
• Parabole

Własności podobieństw

• Złożenie podobieństw o skalach $k\_1,\; k\_2$ jest podobieństwem o skali $k\_1\; k\_2.$
• Przekształcenie odwrotne do podobieństwa o skali $k$ jest podobieństwem o skali $\backslash frac\{1\}\{k\}.$
• Podobieństwo przestrzeni euklidesowej jest złożeniem izometrii i jednokładności.
• Nieizometria ma jeden punkt stały.

W figurach podobnych w przestrzeniach euklidesowych zachodzą następujące zależności:

• Stosunek długości odpowiadających sobie odcinków jest równy skali podobieństwa.
• Odpowiadające sobie kąty są przystające.
• Stosunek pól figur płaskich jest równy kwadratowi skali podobieństwa.
• Stosunek objętości figur przestrzennych jest równy sześcianowi skali podobieństwa.

Klasyfikacja podobieństw

Podobieństwa można klasyfikować w zależności od przestrzeni, w której zachodzą:

Prosta

• Parzyste:
  • Tożsamość
  • Przesunięcie (translacja)
• Nieparzyste:
  • Jednokładność

Płaszczyzna

• Parzyste:
  • Tożsamość
  • Przesunięcie (translacja)
  • Jednokładność
  • Podobieństwo spiralne
• Nieparzyste:
  • Symetria osiowa
  • Symetria z poślizgiem
  • Symetria dylatacyjna