Płaty Béziera

Płaty Béziera

Płaty Béziera to parametryczne powierzchnie stosowane w modelowaniu geometrycznym, będące uogólnieniem krzywych Béziera.

Prostokątne płaty powierzchni Béziera

Prostokątne płaty powierzchni Béziera, znane również jako płaty tensorowe, są funkcjami dwóch zmiennych, które odwzorowują kwadrat jednostkowy na przestrzeń k-wymiarową:

$[0,1]\; times\; [0,1]\; to\; mathbb\; R^k.$

Płat ma stopień $n$ w kierunku parametru $u$ i stopień $m$ w kierunku parametru $v$. Kształt powierzchni kontrolowany jest za pomocą punktów kontrolnych, a do opisu płata stopnia $(n,m)$ potrzebne są $(n+1)\; cdot\; (m+1)$ punkty.

Punkty kontrolne zapisuje się w tablicy dwuwymiarowej jako $p\_\{ij\}$. Siatka kontrolna to zbiór linii łączących sąsiednie punkty kontrolne. Łamana o stałym indeksie $i$ nazywana jest wierszem, a o stałym indeksie $j$ – kolumną.

Punkt na powierzchni oblicza się według wzoru:

$p(u,v)\; =\; sum\_\{i=0\}^n\; sum\_\{j=0\}^m\; p\_\{ij\}\; B\_i^n(u)\; B\_j^m(v)$, dla $u,v\; in\; [0,1]$,

gdzie $B\_i^n$ i $B\_j^m$ to wielomiany bazowe Bernsteina. Obliczenia można przeprowadzić na dwa sposoby:

• $p(u,v)\; =\; sum\_\{i=0\}^n\; left(sum\_\{j=0\}^m\; p\_\{ij\}\; B\_j^m(v)right)\; B\_i^n(u)$,
• $p(u,v)\; =\; sum\_\{j=0\}^m\; left(sum\_\{i=0\}^n\; p\_\{ij\}\; B\_i^n(u)right)\; B\_j^m(v)$.

Punkty leżące na krzywych Béziera dla parametru $u$ i $v$ są wykorzystywane do znalezienia poszukiwanego punktu.

Trójkątne płaty Béziera

Trójkątne płaty Béziera odwzorowują obszar trójkątny w przestrzeń $mathbb\; R^n$. Wykorzystują one wielomiany bazowe Bernsteina trzech zmiennych $B\_\{ijk\}^n(r,s,t)$, gdzie $r,s,t$ są współrzędnymi barycentrycznymi, spełniającymi warunek $r+s+t\; =\; 1$.

Punkt płata trójkątnego stopnia $n$ oblicza się wg wzoru:

$p(r,s,t)\; =\; sum\; p\_\{ijk\}\; B\_\{ijk\}^n\; (r,s,t)$,

gdzie $i,j,k$ są indeksami spełniającymi warunek $i+j+k\; =\; n$. Do określenia płata stopnia $n$ potrzebne są $frac\{(n+1)(n+2)\}\{2\}$ punkty kontrolne.

Analogicznie jak w przypadku płatów prostokątnych, istnieje tutaj również siatka kontrolna oraz możliwość zastosowania algorytmu de Casteljau.