Zginanie w Wytrzymałości Materiałów
Zginanie to proces deformacji, w którym prosty pręt po obciążeniu przyjmuje zakrzywioną formę. Jest to podstawowy sposób działania belek w konstrukcjach.
Rodzaje Zginania
W przypadku materiałów liniowo-sprężystych wyróżnia się kilka typów zginania:
- Czyste zginanie: Występuje jedynie moment zginający, bez sił podłużnych i poprzecznych.
- Proste zginanie: Obejmuje moment zginający oraz siły poprzeczne.
- Ściskanie/rozciąganie mimośrodowe: Zawiera moment, siłę podłużną oraz ewentualnie siły poprzeczne.
Zginanie powoduje naprężenia normalne w przekrojach, które są nierównomiernie rozłożone, w przeciwieństwie do rozciągania i ściskania.
Teoria Bernoulliego-Eulera
Teoria ta zakłada, że odcinek pręta prostopadły do jego osi przed i po deformacji pozostaje prosty i prostopadły. Z tego wynika równanie odkształceń:
\(\epsilon_x = \pm \frac{z}{\rho}\)
Gdzie \(z\) to odległość od osi neutralnej, a \(\rho\) to promień krzywizny. Odkształcenia te prowadzą do naprężeń normalnych:
\(\sigma_x = \pm E \frac{z}{\rho}\)
Obliczenia siły podłużnej i momentu zginającego przedstawiają się następująco:
\(N = \pm \frac{E}{\rho} S_x\)
\(M = \pm \frac{E}{\rho} J_x\)
W przypadku zginania bez siły podłużnej (\(S_x = 0\)) pozostaje równanie:
\(\frac{EJ_x}{\rho(x)} = \pm M(x)\)
Przypadki Zginania
W przypadku czystego zginania, równanie linii ugięcia opisuje parabolę. Zmienny moment prowadzi do równania czwartego rzędu:
\(EJ_x w^{IV} = -q(x)\)
Teoria Timoshenki lepiej opisuje zginanie w prętach krępych.
Maksymalne Naprężenia
Maksymalne naprężenie normalne w przekroju osiągane jest dla \(z_{max}\) i wynosi:
\(\sigma_{max} = \frac{M_x}{W_x}\)
Gdzie \(W_x\) to wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie, obliczany jako \(W = \frac{J_x}{z_{max}}\).
Według hipotezy wytężeniowej, naprężenie powinno spełniać warunek:
\(\sigma_{max} < k_g\)
Gdzie \(k_g\) to dopuszczalna wytrzymałość na zginanie.
