Paradoks zbioru wszystkich zbiorów

Paradoks zbioru wszystkich zbiorów

Paradoks zbioru wszystkich zbiorów, odkryty przez Georga Cantora w 1899 roku, jest przykładem antynomii logicznej wynikającej z nieprecyzyjnego używania pojęć w naiwnej teorii mnogości. Paradoks ten ilustruje sprzeczność w rozumowaniu o zbiorze, który miałby obejmować wszystkie zbiory.

Rozumowanie prowadzące do paradoksu

Załóżmy, że $\backslash mathbf\{Z\}$ to zbiór wszystkich zbiorów, a $\backslash mathrm\{P\}(\backslash mathbf\{Z\})$ oznacza zbiór potęgowy zbioru $\backslash mathbf\{Z\}$.

• Z jednej strony, zbiór $\backslash mathbf\{Z\}$ powinien zawierać $\backslash mathrm\{P\}(\backslash mathbf\{Z\})$, co implikuje, że $\backslash mathrm\{P\}(\backslash mathbf\{Z\})\; \backslash subset\; \backslash mathbf\{Z\}$. Z tego wynika, że moc zbioru potęgowego jest nie większa od mocy zbioru $\backslash mathbf\{Z\}$: $|\backslash mathrm\{P\}(\backslash mathbf\{Z\})|\; \backslash leqslant\; |\backslash mathbf\{Z\}|.$
• Z drugiej strony, według twierdzenia Cantora, moc zbioru potęgowego jest większa od mocy zbioru: $|\backslash mathrm\{P\}(\backslash mathbf\{Z\})|\; >\; |\backslash mathbf\{Z\}|.$

To sprzeczne stwierdzenie prowadzi do konkluzji, że zbiór wszystkich zbiorów nie może istnieć.

Źródło paradoksu

Paradoks wynika z praktyki naiwnej teorii mnogości, w której zbiory definiowane były za pomocą formuł logicznych, bez szczególnego uwzględnienia ich „dziedziny”. Na przykład, definicja $Z\; =\; \backslash \{X:\; 1\; =\; 1\backslash \}$ wydaje się tworzyć zbiór wszystkiego, jednak w rzeczywistości określa ona klasę właściwą.

Podobnie, intuicyjna formuła $x\; \backslash notin\; x$ prowadzi do definicji zbioru $\backslash \{x:\; x\; \backslash notin\; x\backslash \}$, co prowadzi do paradoksu Russella. W naiwnej teorii mnogości takie rozumowanie prowadzi do sprzeczności, co uzasadnia określenie „paradoks”.

Wnioski

W aksjomatycznej teorii mnogości dowód na nieistnienie zbioru wszystkich zbiorów opiera się na powyższym rozumowaniu, eliminując paradoksy związane z naiwnymi definicjami zbiorów.