Paradoks dni urodzin

Paradoks Dni Urodzin

Paradoks dni urodzin, znany również jako paradoks urodzin, odnosi się do zjawiska w rachunku prawdopodobieństwa, w którym zaskakująco niewielka liczba osób wystarcza, aby istniało wysokie prawdopodobieństwo, że przynajmniej dwie z nich urodziły się tego samego dnia. Zaskoczeniem jest, że już w grupie 23 osób prawdopodobieństwo to przekracza 50%.

Rozwiązanie Problemu

Prawdopodobieństwo, że wszystkie osoby w grupie mają różne dni urodzin, dla k osób wynosi:

$p\_k\; =\; \backslash frac\{365\backslash cdot364\backslash cdots(365\; –\; k\; +\; 1)\}\{365^k\}$

Aby znaleźć minimalną liczbę osób $k$, dla której $p\_k\; \backslash le\; 1/2$, obliczenia pokazują, że:

• $p\_\{22\}\; \backslash approx\; 0.524$
• $p\_\{23\}\; \backslash approx\; 0.493$

To oznacza, że wystarczą 23 osoby, aby prawdopodobieństwo było większe niż 50%.

Uogólnienia i Zastosowania

Inna Liczba Dni w Roku

Dla roku liczącego $n$ dni, przybliżona liczba osób potrzebna do osiągnięcia podobnego efektu wynosi:

$\backslash sqrt\{2\backslash ln\{2\}\}\backslash cdot\backslash sqrt\{n\}\; \backslash approx\; 1.177410\backslash cdots\; \backslash cdot\; \backslash sqrt\{n\}$

Ustalony Dzień Urodzin

Jeśli przed eksperymentem wybieramy konkretną datę, na przykład datę urodzin eksperymentatora, aby prawdopodobieństwo znalezienia osoby urodzonej tego samego dnia wynosiło co najmniej 1/2, potrzebna jest grupa 253 osób. Ogólnie dla $n$ dni w roku, liczba ta wynosi:

$n\backslash ln\{2\}\; \backslash approx\; 0.693147\backslash cdots\backslash cdot\; n$

Związek z Kryptografią

Paradoks dni urodzin ma istotne znaczenie w kryptografii, szczególnie w kontekście ataku urodzinowego. Odnosi się to do funkcji skrótu, która generuje kody o $m$ bitach. Średni czas potrzebny na znalezienie kolizji (dwie różne wiadomości o tym samym skrócie) rośnie w przybliżeniu proporcjonalnie do pierwiastka liczby możliwych odpowiedzi funkcji.

Podsumowanie

Paradoks dni urodzin ilustruje, jak intuicja dotycząca prawdopodobieństwa może być myląca. Wystarczą jedynie 23 osoby, aby istniało ponad 50% szans, że przynajmniej dwie z nich urodziły się w tym samym dniu, co ma również zastosowania w kryptografii i teorii prawdopodobieństwa.