P-grupa

Definicja p-grupy

p-grupa to grupa, której rząd jest równy $p^n$, gdzie $p$ to liczba pierwsza, a $n$ to dodatnia liczba całkowita. Nazwa grupy odnosi się do wartości $p$, np. dla $p=11$ mamy 11-grupę. Podgrupę grupy $G$ określa się jako p-podgrupę, jeśli jest to p-grupa. Z kolei p-podgrupa Sylowa to największa p-podgrupa w grupie skończonego rzędu $G$.

Własności p-grup

• Rozważając grupę skończoną $G$ o rzędzie $|G|=pq$, gdzie $p$ i $q$ są liczbami pierwszymi, jeśli $G$ nie ma elementu rzędu $pq$, to jedno z poniższych jest prawdziwe:
  • p-podgrupy Sylowa lub q-podgrupy Sylowa są abelowe.
  • $G/O\_\{\backslash \{p,\; q\backslash \}’\}(G)\; =\; M$ dla $\backslash \{p,\; q\backslash \}\; =\; \backslash \{5,\; 13\backslash \}$ lub $\backslash \{7,\; 13\backslash \}$, gdzie $M$ to grupa monstrum.

Twierdzenie o centrum p-grupy

Centrum $p$-grupy jest nietrywialne, co oznacza, że $Z(G)\; \backslash neq\; \backslash \{e\backslash \}$, gdzie $e$ to element neutralny. Dowód opiera się na analizie działania grupy $G$ na sobie, definiowanego przez funkcję:

$\backslash phi(g,x)\; =\; gxg^\{-1\}.$

Element $x$ należy do centrum $Z(G)$, gdy $gxg^\{-1\}\; =\; x$ dla każdego $g\; \backslash in\; G$. Jeśli orbita $G(x)$ ma więcej niż jeden element, liczba elementów w orbicie jest podzielna przez $p$. W rezultacie, stabilizator $G\_x$ jest podgrupą $G$ o rzędzie dzielącym $|G|$.

Ostatecznie, z uwagi na sumę wszystkich orbit oraz fakt, że $|Z(G)|\; >\; 0$, otrzymujemy, że $p\; \backslash mid\; |Z(G)|$ oraz $|Z(G)|\; \backslash geq\; p$.