Owal Cassiniego

Owal Cassiniego

Owal Cassiniego to krzywa płaska, której punkty spełniają warunek stałego iloczynu odległości od dwóch ustalonych punktów, zwanych ogniskami. Dystans między ogniskami wynosi $2c$, a stała iloczynu to $a^2$. Krzywa ta została opisana przez Giovanniego Cassiniego.

Właściwości owalu Cassiniego

• Gdy , owal składa się z dwóch zamkniętych krzywych.
• Gdy $a\; =\; c$, owal przyjmuje postać lemniskaty Bernoulliego.
• Gdy $a\; >\; c$, owal staje się jedną zamkniętą krzywą bez samoprzecięć z różnymi właściwościami:
• Jeżeli , owal ma przewężenie i cztery punkty przegięcia, nazywany jest kassinoidą.
• Gdy $a\; =\; \backslash sqrt\{2\}c$, owal ma krzywiznę równą $0$ w punktach równo oddalonych od ognisk.
• Gdy $a\; >\; \backslash sqrt\{2\}c$, owal staje się krzywą elipsopodobną, ograniczającą na płaszczyźnie obszar wypukły.

Równania owalu Cassiniego

Równania opisujące owal Cassiniego przedstawiają się następująco:

• Współrzędne kartezjańskie: $(x^2\; +\; y^2)^2\; =\; 2c^2\; (x^2\; –\; y^2)\; +\; a^4\; –\; c^4$
• Współrzędne biegunowe: $r^2\; =\; a^2\; \backslash cos\; 2\backslash varphi\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{a^4\; \backslash cos^2\{2\backslash varphi\}\; –\; (a^4\; –\; c^4)\}$