Otoczka wypukła

Otoczka wypukła

Otoczka wypukła podzbioru przestrzeni liniowej, oznaczana jako $\backslash operatorname\{conv\}\; A$, to najmniejszy zbiór wypukły zawierający dany podzbiór $A$. Można ją zdefiniować jako przekrój wszystkich zbiorów wypukłych, które zawierają $A$:

$\backslash operatorname\{conv\}\; A\; =\; \backslash bigcap\backslash \{M:\; A\backslash subset\; M\; \backslash ;\; \backslash land\backslash ;\; M\; \backslash text\{\; jest\; wypukły\}\backslash \}.$

Przykłady

• Powłoka wypukła zbioru wypukłego to ten sam zbiór. Zbiór pusty również jest wypukły, więc jego otoczką wypukłą jest zbiór pusty.
• Otoczką wypukłą zbioru dwupunktowego $\backslash \{A,\; B\backslash \}$ jest odcinek $AB$.
• Dla trzech punktów niewspółliniowych ich powłoką wypukłą jest trójkąt.
• Dla zbioru punktów płaszczyzny $\backslash \{P\_1,\; P\_2,\; \backslash dots,\; P\_n\backslash \}$ (gdzie $n>2$) powłoka wypukła jest wielokątem wypukłym.
• W przestrzeni 3D powłoka wypukła zbioru punktów jest wielościanem wypukłym.
• W przestrzeni $E^n$ uwypukleniem zbioru punktów standardowych jest sympleks, który w różnych wymiarach przyjmuje różne kształty.

Alternatywne przedstawienie

Otoczkę wypukłą zbioru n-elementowego można zdefiniować jako zbiór wszystkich wypukłych kombinacji liniowych elementów zbioru $A$:

$\backslash operatorname\{conv\}\; A\; =\; \backslash left\backslash \{\; x\; :\; x=\backslash sum\_\{i=1\}^n\backslash beta\_i\; a\_i,\; \backslash ;\; a\_i\backslash in\; A,\; \backslash ;\; \backslash beta\_i\; \backslash in\backslash mathbb\{R\}\_+\backslash cup\backslash \{0\backslash \},\; \backslash ;\backslash sum\_\{i=1\}^n\backslash beta\_i\; =\; 1\; \backslash right\backslash \}$

Dowód

Niech $f(A)$ oznacza zbiór wszystkich wypukłych kombinacji liniowych elementów zbioru $A$. Udowodnimy, że $\backslash operatorname\{conv\}\; A\; =\; f(A)$.

Zauważamy, że $A\backslash subseteq\; f(A)$. Aby pokazać, że $f(A)$ jest zbiorem wypukłym, weźmy $x,\; y\; \backslash in\; f(A)$ i przedstawmy je jako kombinacje liniowe punktów w $A$. Wykazując, że suma tych kombinacji również należy do $f(A)$, udowadniamy wypukłość.

Dowodząc inkluzji, najpierw pokazujemy, że $\backslash operatorname\{conv\}\; A\; \backslash subset\; f(A)$, a następnie, że $f(A)\; \backslash subset\; \backslash operatorname\{conv\}\; A$. Ostatecznie uzyskujemy, że $f(A)\; =\; \backslash operatorname\{conv\}\; A$.