Ortogonalność
Ortogonalność, pojęcie wywodzące się z greckiego, odnosi się do uogólnienia prostopadłości w abstrakcyjnych przestrzeniach z iloczynem skalarnym, takich jak przestrzenie unitarne (w tym Hilberta) oraz ortogonalne. Istnieją różne formy ortogonalności, w tym ortogonalność w sensie Pitagorasa, Jamesa i Birkhoffa.
Definicja
Elementy \( x \) i \( y \) w przestrzeni unitarnej \( X \) z iloczynem skalarnym \( \langle \cdot, \cdot \rangle \) są ortogonalne, gdy:
\( \langle x, y \rangle = 0 \).
Relację tę zapisuje się jako \( x \perp y \). Podzbiór \( A \) przestrzeni \( X \) nazywa się układem ortogonalnym, jeśli każde dwa różne jego elementy są ortogonalne.
Ortogonalność wektorów w przestrzeni trójwymiarowej
Długość wektora \( a = [a_x, a_y, a_z] \) w przestrzeni euklidesowej oblicza się wzorem:
\( |a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \).
Dla dwóch wektorów \( a \) i \( b \), długość wektora \( c = b – a \) wynosi:
\( |c| = |b – a| = \sqrt{(b_x – a_x)^2 + (b_y – a_y)^2 + (b_z – a_z)^2} \).
Wektory \( a \) i \( b \) są ortogonalne, jeśli trójkąt \( oab \) (gdzie \( o = (0, 0, 0) \)) jest prostokątny, co jest równoważne:
\( |c|^2 = |a|^2 + |b|^2 \).
Z tej równości wynika:
\( a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = 0 \), co odpowiada iloczynowi skalarnemu wektorów.
Przykłady
- Przestrzenie euklidesowe: Wektory \( [-1, 3] \) i \( [3, 1] \) są ortogonalne, ponieważ ich iloczyn skalarny wynosi 0.
- Przestrzenie funkcyjne: Ortogonalność występuje również w przestrzeniach funkcyjnych, gdzie definiuje się iloczyn skalarny. Przykładem są funkcje ortogonalne w przestrzeni \( L^2[a, b] \), gdzie iloczyn skalarny definiuje się jako:
\( \langle f, g \rangle = \int_a^b f(t) \overline{g(t)} \mathrm{d}t \).
Rodzina funkcji \( \left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{\sin nx}{\sqrt{\pi}}, \frac{\cos nx}{\sqrt{\pi}} : n \in \mathbb{N}\right\} \) jest przykładem układu ortogonalnego.
