Operator Stokesa

Operator Stokesa

Operator Stokesa, znany także jako operator pochodnej materialnej, jest kluczowym narzędziem w mechanice, szczególnie w analizie wędrownej. Służy do różniczkowania pojęć związanych z objętościami ciał w ruchu, w przeciwieństwie do różniczkowania lokalnego, które odnosi się do układów odniesienia uznawanych za nieruchome.

Operator ten jest zazwyczaj oznaczany jako $frac\{D\}\{Dt\}$ lub w skrócie $D\_t.$ W kontekście analizy wędrownej równoważny jest symbolowi $frac\{partial\}\{partial\; t\}$, natomiast w analizie lokalnej można go zapisać jako:

• $frac\{D\}\{Dt\}\; =\; frac\{partial\}\{partial\; t\}\; +\; v\_x\; frac\{partial\}\{partial\; x\}\; +\; v\_y\; frac\{partial\}\{partial\; y\}\; +\; v\_z\; frac\{partial\}\{partial\; z\}$
• $frac\{D\}\{Dt\}\; =\; frac\{partial\}\{partial\; t\}\; +\; v\_i\; nabla^i$
• $frac\{D\}\{Dt\}\; =\; frac\{partial\}\{partial\; t\}\; +\; vec\; v\; cdot\; vec\; nabla$

W powyższych równaniach $v$ oznacza prędkość elementu ciała, a operator Stokesa dzieli się na dwie części: pochodną lokalną i pochodną konwekcyjną. Pochodna lokalna odnosi się do zmian w danym punkcie, podczas gdy pochodna konwekcyjna uwzględnia ruch płynu.

Wyrażenie operatora Stokesa

Operator Stokesa można zapisać jako:

$frac\{D\}\{Dt\}\; phi\; =\; left(frac\{partial\}\{partial\; t\}\; +\; vec\; v\; cdot\; vec\; nablaright)\; phi\; =\; frac\{partial\; phi\}\{partial\; t\}\; +\; vec\; v\; cdot\; vec\; nabla\; phi.$

Jeśli funkcją różniczkowaną jest prędkość, wyrażenie to prowadzi do pochodnej przyspieszenia płynu:

$a\; =\; frac\{D\}\{Dt\}\; v\; =\; frac\{partial\; v\}\{partial\; t\}\; +\; vec\; v\; cdot\; vec\; nabla\; v.$

Wyprowadzenie w analizie lokalnej

W układzie współrzędnych Eulera, zmiany w położeniu punktu w czasie można opisać za pomocą definicji pochodnej:

$frac\{D\}\{Dt\}phi\; =\; lim\_\{Delta\; t\; to\; 0\}\; frac\{phi(t\; +\; Delta\; t,\; vec\; x\; +\; Delta\; vec\; x)\; –\; phi(t,\; vec\; x)\}\{Delta\; t\}.$

Rozwijając funkcję w pobliżu punktu $(t,\; x,\; y,\; z)$, otrzymujemy:

$frac\{D\}\{Dt\}phi\; =\; left(\; frac\{partial\}\{partial\; t\}\; +\; vec\; v\; cdot\; vecnabla\; right)\; phi.$

Przypisy

Operator Stokesa jest powszechnie stosowany w rachunku różniczkowym i mechanice płynów, będąc istotnym narzędziem w analizie dynamicznych systemów.