Operator różniczkowy

Operator różniczkowy

Operator różniczkowy to narzędzie stosowane w analizie matematycznej, które na podstawie funkcji różniczkowalnej generuje nową funkcję poprzez różniczkowanie. Może to być na przykład operator, który tworzy funkcję jako sumę pierwszej i drugiej pochodnej danej funkcji.

Dziedzina operatora to zbiór wszystkich funkcji, na których dany operator jest określony. Funkcje te mogą być jednowymiarowe lub wielowymiarowe, skalarne, wektorowe oraz tensorowe.

Definicja

Rozważając przestrzeń funkcji $f:Utomathbb\; R^m$ klasy $mathcal\; C^N$, gdzie $Usubseteq\; mathbb\; R^n$ jest otwartym zbiorem, operator różniczkowy rzędu $N$ definiowany jest jako operator liniowy:

$P(x)\; =\; sum\_\{|alpha|leqslant\; N\}\; c\_alpha(x)D^alpha$

gdzie $alpha=(alpha\_1,dots,alpha\_n)$ jest wielowskaźnikiem, a $c\_alpha:\; Uto\; mathbb\; R$ to funkcje. Operator pochodnych cząstkowych $D^alpha$ definiuje się jako:

$D^alpha\; =\; frac\{partial^\{alpha\_1\}\}\{partial\; x\_1\}ldots\; frac\{partial^\{alpha\_n\}\}\{partial\; x\_n\}.$

Przykład

Operator różniczkowy $T:\; C^2((0,1),mathbb\{R\})to\; C((0,1),mathbb\{R\})$ zdefiniowany jest przez:

$Tf\; =\; frac\{d^2\; f\}\{dx^2\}\; +\; frac\{df\}\{dx\}.$

Operator $T$ działa na funkcjach różniczkowalnych co najmniej dwukrotnie, co oznacza, że jego dziedziną są funkcje klasy $C^2.$ Na przykład, dla funkcji $f(x)\; =\; e^\{-x\}(x^2+x+1)$, wynik działania operatora to:

$Tf(x)\; =\; e^\{-x\}(1-2x).$

Własności operatora różniczkowego

• Twierdzenie 1: Operator różniczkowy jest liniowy, co oznacza, że $T(f\_1+f\_2)\; =\; T(f\_1)\; +\; T(f\_2)$ oraz $T(alpha\; f)\; =\; alpha,\; T(f)$, gdzie $f\_1,\; f\_2$ to funkcje, a $alpha$ jest stałą.
• Twierdzenie 2: Każdy wielomian zbudowany z operatora różniczkowego również jest operatorem różniczkowym.

Operator nabla

W współrzędnych kartezjańskich operator nabla $nabla$ ma postać:

$nabla\; =\; left(frac\{partial\}\{partial\; x\},\; frac\{partial\}\{partial\; y\},\; frac\{partial\}\{partial\; z\}right).$

Operator nabla pozwala na przeprowadzanie różnych operacji, takich jak:

• Dywergencja: $text\{div\},mathbf\{F\}\; equiv\; nablacdot\; mathbf\{F\}$
• Gradient: $operatorname\{grad\}\; (f)\; equiv\; nabla\; f$
• Rotacja: $operatorname\{rot\}\; (mathbf\; F)\; equiv\; nabla\; times\; mathbf\; F$

Czterowymiarowa czasoprzestrzeń

W czterowymiarowej czasoprzestrzeni operator nabla jest przedstawiany jako:

$partial\_mu\; equiv\; frac\{partial\}\{partial\; x^mu\}\; equiv\; left(frac\{1\}\{c\}frac\{partial\}\{partial\; t\},nablaright).$

Operator nabla jest kluczowy w wielu równaniach fizycznych, w tym w równaniach Maxwella i równaniu Schrödingera.

Operatory utworzone z operatora nabla

• Laplasjan: $triangle\; equiv\; nabla^2\; =\; frac\{partial^2\}\{partial\; x^2\}\; +\; frac\{partial^2\}\{partial\; y^2\}\; +\; frac\{partial^2\}\{partial\; z^2\}$
• Dalambercjan: $square\; =\; triangle\; –\; frac\{1\}\{c^2\}frac\{partial^2\}\{partial\; t^2\}$