Operator Laplace’a

Operator Laplace’a

Operator Laplace’a, znany także jako laplasjan, jest operatorem różniczkowym drugiego rzędu wprowadzonym przez Pierre’a Simona de Laplace’a. W układzie kartezjańskim 3-wymiarowym ma postać:

$\backslash Delta\; \backslash equiv\; \backslash nabla^2\; =\; \backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; x^2\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; y^2\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; z^2\}.$

Operator ten można uogólnić na przestrzenie euklidesowe n-wymiarowe oraz na przestrzenie riemannowskie i pseudoriemannowskie.

Zastosowania

• Równanie przewodnictwa cieplnego
• Równanie falowe
• Część hamiltonianu
• Składowa przestrzenna operatora d’Alemberta
• Generator procesu Wienera w teorii prawdopodobieństwa

Definicja w różnych układach współrzędnych

Współrzędne kartezjańskie

W n-wymiarowym układzie kartezjańskim operator Laplace’a zapisuje się jako:

$\backslash Delta\; \backslash equiv\; \backslash nabla^2\; =\; \backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; x\_1^2\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; x\_2^2\}\; +\; \backslash dots\; +\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; x\_n^2\}.$

Współrzędne krzywoliniowe

W n-wymiarowym ortogonalnym układzie krzywoliniowym operator Laplace’a przyjmuje postać:

$\backslash Delta\; =\; \backslash frac\{1\}\{h\_1\; h\_2\; \backslash dots\; h\_n\}\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; q^i\}\backslash left(\backslash frac\{h\_1\; h\_2\; \backslash dots\; h\_n\}\{h\_i^2\}\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; q^i\}\backslash right),$

gdzie:

• $q\_i,\; i=1,\backslash dots,n$ – współrzędne krzywoliniowe,
• $h\_i$ – współczynniki Lamego, definiowane jako $h\_i=\backslash sqrt\{g\_\{ii\}\}$.

Współrzędne sferyczne i walcowe

Współrzędne sferyczne $(r,\; \backslash theta,\; \backslash phi)$ opisują operator Laplace’a jako:

$\backslash Delta=\backslash frac\{1\}\{r^2\}\backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; r\}r^2\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; r\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sin\backslash theta\}\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; \backslash theta\}\; \backslash sin\backslash theta\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; \backslash theta\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sin^2\backslash theta\}\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; \backslash varphi^2\}\backslash right).$

W układzie walcowym $(\backslash rho,\; \backslash theta,\; z)$ operator Laplace’a ma postać:

$\backslash Delta\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash rho\}\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; \backslash rho\}\; \backslash left(\; \backslash rho\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; \backslash rho\}\; \backslash right)\; +\; \backslash frac\{1\}\{\backslash rho^2\}\; \backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; \backslash varphi^2\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; z^2\}.$

Własności operatora Laplace’a

Operator Laplace’a posiada istotne związki z innymi operatorami:

• Tw. 1: Laplasjan funkcji skalarnej $f$ jest równy dywergencji gradientu:

$\backslash Delta\; f\; =\; \backslash operatorname\{div\}(\backslash operatorname\{grad\}\; f).$

• Tw. 2: Laplasjan funkcji wektorowej $\backslash vec\; F$ można wyrazić jako:

$\backslash Delta\; \backslash vec\; F\; =\; \backslash operatorname\{grad\}(\backslash operatorname\{div\}\backslash vec\; F)\; –\; \backslash operatorname\{rot\}(\backslash operatorname\{rot\}\; \backslash vec\; F).$

• Tw. 3: Laplasjan iloczynu funkcji skalarnych:

$\backslash Delta\; (fg)\; =\; f\; \backslash Delta\; (g)\; +\; 2\; \backslash nabla\; f\; \backslash cdot\; \backslash nabla\; g\; +\; g\; \backslash Delta\; (f).$

Działanie na funkcje wektorowe

Operator Laplace’a działający na funkcję wektorową $\backslash vec\; F$ w układzie kartezjańskim tworzy wektor z komponentami $\backslash Delta\; F\_k$ obliczonymi z funkcji współrzędnych:

$\backslash Delta\; \backslash vec\; F\; =\; [\backslash Delta\; F\_1,\; \backslash dots,\; \backslash Delta\; F\_n].$

W innych układach współrzędnych działanie operatora Laplace’a wyraża się bardziej złożonymi wzorami.