Obserwowalność

Obserwowalność w Układach Sterowania

Obserwowalność to kluczowa cecha układu sterowania, która pozwala na określenie wewnętrznego stanu obiektu na podstawie sygnałów wejściowych i wyjściowych. Jest to istotne dla algorytmów estymacji, takich jak estymacja minimalnokwadratowa.

Jeśli układ nie jest obserwowalny, regulator nie będzie w stanie określić jego zachowania, co uniemożliwia stabilizację. Jednak stan wewnętrzny, mimo braku obserwowalności, może być wykrywalny. W przypadku układów, które są obserwowalne, można skonstruować obserwator Luenbergera.

Definicje Obserwowalności

Definicja 1

Układ jest obserwowalny, jeśli dla dowolnego sterowania można określić wartości wszystkich zmiennych stanu w chwili $t\_0$, bazując na znajomości sterowania $u(t\_0,t)$ i odpowiedzi $y(t\_0,t).$

Definicja 2

Stan początkowy $x\_0\; \backslash in\; R^n$ układu regulacji jest obserwowalny w $q$ krokach, jeśli na podstawie ciągu wymuszeń $\backslash \{u\_0,\; u\_1,\; \backslash dots,\; u\_\{q-1\}\backslash \}$ i ciągu odpowiedzi $\backslash \{y\_0,\; y\_1,\; \backslash dots,\; y\_\{q-1\}\backslash \}$ można jednoznacznie wyznaczyć ten stan.

Układ jest obserwowalny, gdy istnieje liczba naturalna $q$, dla której można wyznaczyć każdy stan początkowy $x\_0\; \backslash in\; R^n$.

Definicja 3

Układ jest obserwowalny, jeżeli każdy jego stan jest różny od stanu $0.$ To oznacza, że istnieje czas $t$, dla którego $Ce^\{At\}x\; \backslash ne\; 0.$

Sprawdzanie Obserwowalności

Aby ustalić, czy układ jest obserwowalny, należy wyznaczyć macierz Kalmana w postaci:

$\backslash mathcal\{O\}=\backslash begin\{bmatrix\}\; C\; \backslash \backslash \; CA\; \backslash \backslash \; CA^2\; \backslash \backslash \; \backslash vdots\; \backslash \backslash \; CA^\{n-1\}\; \backslash end\{bmatrix\}$

Następnie sprawdza się, czy rząd tej macierzy jest pełny, co oznacza, że $rank(\backslash mathcal\{O\})=n$, gdzie $n$ to wymiar macierzy stanu $A.$ Obserwowalność można także stwierdzić poprzez analizę sterowalności układu dualnego.