NURBS

Wprowadzenie do Krzywych i Powierzchni B-sklejanych

Krzywe i powierzchnie B-sklejane to popularne narzędzia w modelowaniu kształtów organicznych w grafice 3D. Kształt krzywych definiowany jest za pomocą punktów kontrolnych, które tworzą wielobok kontrolny. Powierzchnie B-sklejane są elastyczne i łatwe w modyfikacji, ponieważ zmiany w siatce kontrolnej wpływają na kształt powierzchni w ograniczonym zakresie.

Krzywe B-sklejane

Krzywe B-sklejane są parametrycznymi krzywymi zbudowanymi z wielomianowych wycinków. Oto kluczowe cechy i elementy wpływające na kształt krzywej B-sklejanej:

• Punkty kontrolne: $p\_0,\; \backslash dots,\; p\_\{m-n-1\}$
• Węzły: $u\_0,\; \backslash dots,\; u\_m$, które dzielą przedział $[0,1]$ na $m-1$ podprzedziałów
• Wagi punktów kontrolnych: $w\_0,\; \backslash dots,\; w\_\{m-n-1\}$, które określają wpływ punktów kontrolnych na kształt krzywej
• Stopień sklejanych wielomianów: $n$

Wzór na dowolny punkt na krzywej B-sklejanej to:

$p(t)\; =\; \backslash frac\{\backslash sum\_\{i=0\}^\{m-n-1\}\; w\_i\; p\_i\; N\_i^n(t)\}\{\backslash sum\_\{i=0\}^\{m-n-1\}\; w\_i\; N\_i^n(t)\}\; \backslash qquad\; \backslash text\{dla\; \}\; t\; \backslash in\; [u\_n,\; u\_\{m-n\}],$

gdzie $N\_i^n$ jest unormowaną funkcją B-sklejaną.

Specjalne Przypadki Krzywych

Zwyczajna krzywa B-sklejana jest szczególnym przypadkiem krzywej B-sklejanej, w której wagi punktów kontrolnych są równe i różne od zera. W przypadku krzywych wymiernych, wpływ wag na kształt krzywej jest lokalny – krzywa może „zbliżać się” lub „oddalać” od punktu kontrolnego w zależności od jego wagi. Odcinek krzywej staje się liniowy, gdy waga punktu kontrolnego wynosi zero.

Podsumowanie

Krzywe i powierzchnie B-sklejane są kluczowymi elementami w modelowaniu w grafice 3D, oferując elastyczność i precyzję w tworzeniu skomplikowanych kształtów organicznych. Ich struktura opiera się na punktach kontrolnych, węzłach oraz wagach, co umożliwia precyzyjne kształtowanie form.