Dzisiaj jest 19 stycznia 2025 r.
Chcę dodać własny artykuł

Notacja Diraca

Notacja Diraca

Notacja Diraca, wprowadzona przez Paula Diraca w 1939 roku, to sposób zapisywania stanów kwantowych w mechanice kwantowej. Używa dwóch głównych elementów: ketów i bra.

  • Ket: Oznaczany jako |v rangle, reprezentuje wektor w zespolonej przestrzeni liniowej, interpretowany jako stan kwantowy.
  • Bra: Oznaczany jako langle f|, oznacza funkcjonał liniowy działający na przestrzeni, zwykle przestrzeni Hilberta.

Działanie funkcjonału na wektorze zapisuje się jako langle f| v rangle, co odpowiada iloczynowi skalarnemu dwóch stanów zapisanemu w formie langlephi|psirangle.

Przestrzeń wektorowa

Wektory w notacji Diraca mogą być reprezentowane w przestrzeni wektorowej. Na przykład, wektor vec{A} w trójwymiarowej przestrzeni można zapisać jako kombinację liniową wektorów bazowych:

vec{A} = A_1 vec{e}_1 + A_2 vec{e}_2 + A_3 vec{e}_3.

Notacja ket

W notacji Diraca wektory zapisuje się jako |A rangle, co można zdefiniować jako:

|A rangle = A_1|e_1 rangle + A_2|e_2 rangle + A_3|e_3 rangle.

Iloczyn skalarny

Iloczyn skalarny dwóch wektorów zapisuje się jako langle A | B rangle, co prowadzi do postaci:

langle A | B rangle = A_1^* B_1 + A_2^* B_2 + A_3^* B_3.

Iloczyn można podzielić na bra i ket, co pozwala na większą elastyczność w jego zastosowaniach.

Bra i kety jako macierze

W przestrzeni wektorowej o skończonej liczbie wymiarów, iloczyn skalarny można zapisać jako mnożenie macierzy:

langle A | B rangle = begin{pmatrix} A_1^* & A_2^* & ldots & A_N^* end{pmatrix} begin{pmatrix} B_1 \ B_2 \ vdots \ B_N end{pmatrix}.

Zastosowanie w mechanice kwantowej

Notacja Diraca jest kluczowa w mechanice kwantowej, gdzie:

  • Stany kwantowe są reprezentowane jako wektory w przestrzeni Hilberta.
  • Superpozycje stanów są opisane jako suma wektorów stanów.
  • Pomiary są związane z operatorami liniowymi.
  • Normalizacja funkcji falowej ustala jej normę na 1.

Oznaczenia w notacji Diraca

  • Wektory bazowe: |nrangle, gdzie n=0,1,2,dots.
  • Iloczyn skalarny: langle 0|1rangle = 0.
  • Operatory oznaczane jako hat A.

Notacja Diraca jest fundamentalnym narzędziem w algebrze liniowej i mechanice kwantowej, umożliwiającym efektywne opisywanie i analizowanie stanów kwantowych oraz ich interakcji.