Normalna

Definicja normalnej do krzywej

Normalna do krzywej w danym punkcie to prosta, która przechodzi przez ten punkt i jest prostopadła do stycznej do krzywej w tym punkcie.

Normalna w płaszczyźnie

Dla krzywej opisanej równaniem funkcji $f(x)$, normalna w punkcie o współrzędnych $(x\_0,\; y\_0)$, gdzie $y\_0=f(x\_0)$, jest opisana wzorem:

$y\; =\; -\backslash frac\{x-x\_0\}\{f\text{'}(x\_0)\}\; +\; y\_0.$

W tym wzorze $f\text{'}(x\_0)$ oznacza pochodną funkcji $f(x)$ w punkcie $x\_0$.

Jeżeli krzywa jest opisana równaniami parametrycznymi $y\; =\; y(t)$ i $x\; =\; x(t)$, to normalna w punkcie $(x(t\_0),y(t\_0))$ ma równanie:

$x\text{'}(t\_0)(x-x(t\_0))\; +\; y\text{'}(t\_0)(y-y(t\_0))\; =\; 0.$

Tutaj $x\text{'}(t\_0)$ i $y\text{'}(t\_0)$ to pochodne funkcji $x(t)$ i $y(t)$ w punkcie $t\_0$.

Uogólnienia w przestrzeni trójwymiarowej

W trzech wymiarach odpowiednikiem prostej normalnej jest płaszczyzna normalna, która zawiera wszystkie normalne do krzywej w danym punkcie.

Podsumowanie

Normalne do krzywej są istotnym elementem analizy geometrycznej, zarówno w przestrzeni płaskiej, jak i trójwymiarowej. Ich właściwości są kluczowe w geometrii różniczkowej.