Niezmiennik pętli

Niezmiennik pętli

Niezmiennik pętli to kluczowe pojęcie w projektowaniu i analizie algorytmów, które odnosi się do zdania P, które jest prawdziwe po każdym przebiegu pętli. Używa się go jako założenia indukcyjnego do wykazania poprawności algorytmu.

Przykłady zastosowania

Przykłady ilustrujące zastosowanie niezmienników pętli obejmują:

• Przykład 1: W prostym algorytmie, gdzie zmienne są inicjalizowane:

int a = 5, b = 0;
for (int i = 0; i < 9; i++) {
    b++;
}

Niezmiennikiem pętli jest stwierdzenie: a jest równe 5.

• Przykład 2: Algorytm Euklidesa do obliczania największego wspólnego dzielnika (NWD):

int NWD(int a, int b) {
    int c;
    while (b != 0) {
        c = a % b;
        a = b;
        b = c;
    }
    return a;
}

Niezmiennikiem pętli w tym przypadku jest zdanie: NWD(a, b) = NWD(b, a mod b).

• Przykład 3: Sortowanie przez scalanie (Mergesort):

Niezmiennikiem pętli jest stwierdzenie, że wszystkie serie długości i są wewnętrznie posortowane w i-tym przebiegu pętli.

W kontekście algorytmów, niezmiennik pętli jest niezbędnym narzędziem do analizy poprawności i efektywności, pomagając w dowodzeniu, że algorytmy działają zgodnie z zamierzeniami.