Następnik liczby porządkowej

Następnik liczby porządkowej

Następnik liczby porządkowej to najmniejsza liczba porządkowa większa od danej liczby $alpha.$ Liczbę tę nazywamy liczbą następnikową. Każda liczba porządkowa różna od $0$ jest albo liczbą następnikową, albo graniczną liczbą porządkową.

W kontekście liczb porządkowych von Neumanna, następnik liczby $alpha$ określa się wzorem:

$S(alpha)\; =\; alpha\; cup\; \{alpha\}.$

Zastosowanie

Następnik liczby porządkowej jest kluczowym elementem w operacjach przeprowadzanych na liczbach porządkowych. Jego najważniejszym zastosowaniem jest konstrukcja zbiorów induktywnych, takich jak zbiór liczb naturalnych w teorii von Neumanna.

Dzięki operacji następnikowej można definiować arytmetykę liczb porządkowych poprzez indukcję pozaskończoną:

• $alpha\; +\; 0\; =\; alpha$
• $alpha\; +\; S(beta)\; =\; S(alpha\; +\; beta)$
• dla granicznej liczby porządkowej $lambda.$

W szczególności, $S(alpha)\; =\; alpha\; +\; 1.$ Operacje mnożenia i potęgowania również definiuje się w podobny sposób. Punkty następnikowe i zero są punktami skupienia w topologii porządkowej.

Uwaga: Nie każda liczba porządkowa jest następnikowa. Liczby, które nie mają tej własności, określamy jako graniczne liczby porządkowe, co nie powinno być mylone z granicznymi liczbami kardynalnymi.

Własności

• Nie istnieje żadna liczba porządkowa pomiędzy $alpha$ i $S(alpha),$ czyli
• Jeśli $alpha\; in\; S(alpha),$ to $alpha\; subset\; S(alpha)$ (zbiór przechodni).

Przykłady

• $S(varnothing)\; =\; \{varnothing\}$ (gdzie $varnothing=0$)
• $Sleft(\{varnothing\}right)\; =\; left\{varnothing,\; \{varnothing\}right\}$
• $Sleft(left\{varnothing,\; \{varnothing\}right\}right)\; =\; left\{varnothing,\; \{varnothing\},\; left\{varnothing,\; \{varnothing\}right\}right\}$