Następnik liczby kardynalnej

Następnik liczby kardynalnej

Następnik liczby kardynalnej to operacja analogiczna do następnika liczb porządkowych, definiowana w taki sposób, że pomiędzy liczbą kardynalną $kappa$ a jej następnikiem $kappa^+$ nie istnieją inne liczby kardynalne.

Definicja operacji następnika

Operację następnika dla liczb kardynalnych określa się jako:

$kappa^+\; =\; \{alpha\; in\; ON\; mid\; |alpha|leqslant\; kappa\},$

gdzie $ON$ to klasa wszystkich liczb porządkowych. Można wykazać, że $kappa^+$ jest liczbą porządkową i najmniejszą liczbą porządkową o mocy większej od $kappa.$

Następnik liczb alef

Następnik liczby $aleph\_alpha$ oznaczamy jako $aleph\_\{alpha+1\}$. Przykładowo:

• $(aleph\_0)^+\; =\; aleph\_1$
• $(aleph\_1)^+\; =\; aleph\_2$

Warto zauważyć, że każda liczba kardynalna jest także liczbą porządkową, co oznacza, że ma dwa następniki – jeden w sensie kardynalnym, a drugi w porządkowym. Na przykład:

• Następnik liczby kardynalnej $aleph\_0$ to $aleph\_1$ (następna liczba kardynalna).
• Następnik liczby porządkowej $omega$ to $omega+1$ (następna liczba porządkowa).

Liczby kardynalne graniczne

Liczba kardynalna, która nie jest następnikiem żadnej innej liczby kardynalnej, nazywana jest liczbą kardynalną graniczną. Przykładem takiej liczby jest:

• $aleph\_omega\; :=\; sup\{aleph\_0,\; aleph\_1,\; dots\}$ – pierwsza nieprzeliczalna graniczna liczba kardynalna.

Podsumowanie

Następnik liczby kardynalnej jest istotną koncepcją w teorii zbiorów, umożliwiającą zrozumienie struktury liczb kardynalnych oraz ich relacji z liczbami porządkowymi.