Przestrzeń metryczna
Przestrzeń metryczna to kluczowe pojęcie w matematyce, szczególnie w analizie i topologii. Oznacza to zbiór wyposażony w funkcję, która określa odległość pomiędzy dowolnymi dwoma punktami w tym zbiorze.
Definicja
Formalnie, przestrzeń metryczna składa się z pary (X, d), gdzie:
- X – zbiór punktów,
- d – funkcja metryczna, która przypisuje każdej parze punktów (x, y) z X liczbę rzeczywistą, określającą odległość pomiędzy nimi.
Właściwości metryki
Funkcja metryczna d musi spełniać następujące właściwości:
- Nieujemność: d(x, y) ≥ 0 dla wszystkich x, y ∈ X, a d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y.
- Symetria: d(x, y) = d(y, x) dla wszystkich x, y ∈ X.
- Trójkątność: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) dla wszystkich x, y, z ∈ X.
Przykłady przestrzeni metrycznych
Najpopularniejsze przykłady przestrzeni metrycznych to:
- Przestrzeń euklidesowa: Wykorzystuje standardową metrykę d(x, y) = ||x – y||.
- Przestrzeń dyskretna: Metryka d(x, y) = 1, jeśli x ≠ y, i d(x, y) = 0, jeśli x = y.
- Przestrzeń Manhattan: Wykorzystuje metrykę d(x, y) = |x1 – y1| + |x2 – y2|.
Zastosowanie
Przestrzenie metryczne są fundamentem wielu dziedzin matematyki i mają zastosowanie w:
- analizie matematycznej,
- topologii,
- teorii grafów,
- statystyce.
Ich zrozumienie jest kluczowe dla badań nad własnościami przestrzeni oraz analizą zjawisk matematycznych.
