Metoda Simpsona

Całkowanie metodą Simpsona

Metoda Simpsona jest techniką przybliżania wartości całki oznaczonej funkcji rzeczywistej. Stosuje się ją do funkcji wartościowanych w nieparzystej liczbie punktów o równych odstępach, w tym na końcach przedziału całkowania. Podstawą tej metody jest interpolacja funkcji za pomocą wielomianu drugiego stopnia.

Podstawowy wzór

Znając wartości funkcji $f(x)$ w trzech punktach $x\_0,\; x\_1,\; x\_2$ (gdzie $x\_2\; –\; x\_1\; =\; x\_1\; –\; x\_0\; =\; h$), przybliżamy funkcję wielomianem Lagrange’a. Całkując w przedziale $[x\_0,\; x\_2]$, otrzymujemy:

$\backslash int\backslash limits\_\{x\_0\}^\{x\_2\}f(x)dx\backslash approx\; \backslash frac\{h\}\{3\}\; (y\_0\; +\; 4y\_1\; +\; y\_2).$

Błąd przybliżenia

Błąd popełniony przy tym przybliżeniu jest opisany wzorem:

$R\; =\; \backslash frac\{1\}\{90\}\; h^5\; |f^\{(4)\}(c)|,$
gdzie $c\; \backslash in\; [x\_0;\; x\_2].$ Aby oszacować ten błąd w obliczeniach numerycznych, używamy:

$R\; \backslash leqslant\; \backslash frac\{1\}\{90\}\; h^5\; \backslash max\_\{x\; \backslash in\; [x\_0;\; x\_2]\}\; |f^\{(4)\}(x)|.$

Iteracja w przypadku większej liczby punktów

Jeśli posiadamy wartości funkcji w $2k\; +\; 1$ punktach $x\_0,\; x\_1,\; \backslash ldots,\; x\_n$ (gdzie $n\; =\; 2k$), możemy iterować wzór na $k$ przedziałów:

$\backslash int\backslash limits\_\{x\_\{2i-2\}\}^\{x\_\{2i\}\}f(x)dx\backslash approx\; \backslash frac\{h\}\{3\}\; (y\_\{2i-2\}+4y\_\{2i-1\}+y\_\{2i\}),\; \backslash quad\; i=1,\; 2,\; \backslash dots,\; k.$

Wówczas całkowita wartość całki wyraża się jako:

$\backslash int\backslash limits\_\{x\_0\}^\{x\_n\}f(x)dx\backslash approx\; \backslash frac\{h\}\{3\}\; \backslash left(\; y\_0\; +\; 4\backslash sum\_\{i=1\}^k\; y\_\{2i-1\}\; +\; 2\backslash sum\_\{i=1\}^\{k-1\}\; y\_\{2i\}\; +\; y\_n\; \backslash right).$

Ostateczne oszacowanie błędu

Ostateczny błąd wyliczenia można oszacować wzorem:

$R\; \backslash leqslant\; \backslash frac\{1\}\{180\}\; (x\_n\; –\; x\_0)\; h^4\; \backslash max\_\{x\; \backslash in\; [x\_0;\; x\_n]\}\; |f^\{(4)\}(x)|.$

Interpretacja geometryczna

Metoda Simpsona odpowiada zastąpieniu łuku wykresu funkcji $y\; =\; f(x)$ dla każdego z $k$ przedziałów parabolą przeprowadzoną przez trzy punkty interpolacji, które odpowiadają początkom, środkowi i końcowi każdego przedziału.