Metoda siecznych

Metoda Siecznych

Metoda siecznych, znana również jako metoda cięciw, jest numeryczną techniką stosowaną do rozwiązywania równań nieliniowych z jedną niewiadomą. Charakteryzuje się tym, że nie wymaga znajomości pochodnych funkcji ani jej różniczkowalności, co stanowi jej istotną zaletę.

Opis Procedury

Wersja Podstawowa

Podstawowa wersja metody opiera się na założeniu, że funkcja jest ciągła na małym odcinku, co pozwala na przybliżenie jej krzywej linią prostą. Dla przedziału $langle\; a,brangle$ zastępujemy krzywą $y=f(x)$ sieczną i jako przybliżoną wartość pierwiastka przyjmujemy punkt przecięcia siecznej z osią OX.

Rekurencyjny wzór metody siecznych można zapisać w następujący sposób:

Aby metoda była skuteczna, musi zachodzić warunek , co zapewnia, że sieczna przecina oś OX.

Modyfikacja

Modyfikacja metody zapewnia zbieżność do pierwiastka dla dowolnej funkcji ciągłej $f(x)$ w przedziale $[a,b]$, pod warunkiem, że . Proces polega na wyznaczaniu ciągów $a\_n$ i $b\_n$, które spełniają określone warunki.

Rekurencyjna reguła dla tej modyfikacji jest następująca:

W tej modyfikacji punkt przecięcia siecznej z osią OX jest używany do zastąpienia jednego z końców przedziału, w którym znajduje się pierwiastek.

Powiązane Metody Numeryczne

Inne metody numeryczne do wyznaczania pierwiastków równań nieliniowych to:

• metoda bisekcji
• metoda stycznych (Newtona-Raphsona)
• odwrotna interpolacja kwadratowa
• regula falsi

Podsumowanie

Metoda siecznych jest efektywnym narzędziem do rozwiązywania równań nieliniowych, które nie wymaga znajomości pochodnych funkcji. Dzięki swojej prostocie i elastyczności, znajduje zastosowanie w różnych dziedzinach matematyki i inżynierii.