Metoda Równego Podziału
Metoda równego podziału, znana również jako metoda bisekcji, jest techniką stosowaną do rozwiązywania równań nieliniowych. Bazuje na twierdzeniu Darboux, które stwierdza, że jeśli funkcja ciągła zmienia znaki na końcach przedziału , to istnieje przynajmniej jeden pierwiastek równania wewnątrz tego przedziału.
Założenia Metody
Aby zastosować metodę równego podziału, muszą być spełnione następujące warunki:
- Funkcja jest ciągła w przedziale domkniętym .
- Funkcja przyjmuje różne znaki na końcach przedziału: .
Przebieg Algorytmu
Algorytm przebiega w następujący sposób:
- Obliczamy punkt i sprawdzamy, czy . Jeśli tak, algorytm kończy działanie.
- Jeżeli , powtarzamy proces, dopóki :
- Obliczamy nowy .
- Wybieramy koniec przedziału, którego wartość funkcji ma przeciwny znak do :
- Jeżeli , to .
- Jeżeli , to .
- Gdy osiągniemy żądaną dokładność, zwracamy wartość .
Przykład Zastosowania
Rozważmy równanie w przedziale .
- Obliczamy: , .
- Dzielimy przedział: , .
- Wybieramy przedział , ponieważ .
- Kontynuujemy proces, aż osiągniemy odpowiednią dokładność.
Pseudokod
Poniżej przedstawiono prosty pseudokod metody równego podziału w języku Python:
while abs(a – b) > epsilon:
x1 = (a + b) / 2
if abs(f(x1)) <= epsilon:
break
elif f(x1) * f(a) < 0:
b = x1
else:
a = x1
print((a + b) / 2)
Metoda ta pozwala na precyzyjne wyznaczenie pierwiastka równania z dowolną dokładnością.