Metoda kompozycji łacińskiej

Metoda kompozycji łacińskiej

Metoda ta umożliwia efektywne znajdowanie wszystkich ścieżek i cykli Hamiltona w grafie.

Opis kroków

Krok 1: Oznaczanie wierzchołków i budowa macierzy

Wierzchołki grafu oznaczamy literami alfabetu. Następnie tworzymy macierz $M^\{(1)\}$ o wymiarach odpowiadających liczbie wierzchołków grafu. W przypadku istnienia krawędzi z wierzchołka $i$ do $j$ (gdzie $i\; \backslash neq\; j$), w macierzy umieszczamy ciąg $ij$. Pozostałe elementy macierzy ustawiamy na 0.

Krok 2: Tworzenie macierzy $M’^\{(1)\}$

Aby stworzyć macierz $M’^\{(k)\}$, z każdego elementu macierzy $M^\{(k)\}$ usuwamy pierwszą literę.

Krok 3: Wyszukiwanie macierzy $M^\{(n\; –\; 1)\}$

Poszukujemy macierzy $M^\{(n\; –\; 1)\}$ przy użyciu następującego działania:

$M^\{(p+q)\}\; =\; M^\{(p)\}\backslash \; L\backslash \; M’^\{(q)\}$

Operacja ta przypomina mnożenie macierzy, jednak zamiast mnożyć ciągi znaków, je łączymy. W przypadku powtarzających się znaków, zastępujemy je zerem. Ciągi znaków w powstałej macierzy reprezentują wszystkie możliwe ścieżki Hamiltona.

Krok 4: Obliczanie cykli Hamiltona

Aby znaleźć cykle Hamiltona, obliczamy macierz $M^\{*(n)\}\; =\; M’^\{(n-1)\}\backslash \; L\backslash \; M’^\{(1)\}$. Następnie do każdego ciągu znaków dodajemy literę odpowiadającą wierszowi macierzy. Ostateczna macierz zawiera wszystkie cykle Hamiltona w grafie.

Metoda kompozycji łacińskiej stanowi skuteczny sposób na identyfikację ścieżek i cykli Hamiltona, co jest istotne w analizie grafów.