Metoda Eulera

Metoda Eulera

Metoda Eulera to technika rozwiązywania równań różniczkowych, oparta na ich interpretacji geometrycznej. Została po raz pierwszy opisana przez Leonharda Eulera w 1768 roku w publikacji „Institutiones calculi differentialis”.

Podstawowa metoda Eulera

Rozważamy równanie w postaci $y’\; =\; f(x,\; y)$ z warunkami początkowymi $(x\_0,\; y\_0):\; y\_0\; =\; y(x\_0)$. Kolejne punkty na osi x określamy jako $x\_\{n+1\}\; =\; x\_n\; +\; h$, gdzie $h$ jest krokiem. Definiując pochodną, mamy:

• $y’\; =\; frac\{Delta\; y\}\{h\}$
• $f(x\_n,\; y\_n)\; =\; frac\{Delta\; y\}\{h\}$

Przekształcając, uzyskujemy $Delta\; y\; =\; h\; f(x\_n,\; y\_n)$. Podstawiając do wzoru $y\_\{n+1\}\; =\; y\_n\; +\; Delta\; y$, ostatecznie otrzymujemy:

$y\_\{n+1\}\; =\; y\_n\; +\; h\; f(x\_n,\; y\_n).$

Porównując to z rozwinięciem Taylora, widzimy, że błąd przybliżenia $y(x\_\{n+1\})$ jest rzędu $h^2$. Oznacza to, że mniejszy krok $h$ prowadzi do dokładniejszych wyników.

Zbieżność metody Eulera

Dokładność metody Eulera można ocenić na przykładzie równania $y’\; =\; y$, z warunkami początkowymi $x\_0=0,\; y\_0=1$, którego rozwiązaniem jest funkcja $y=exp(x)$. Wartość $exp(4)\; approx\; 54\{,\}5982$. Obserwujemy, że błąd maleje przy zmniejszaniu kroku $h$, ale wzrasta wraz z różnicą $x-x\_0$. Generalnie, metoda Eulera cechuje się dużym błędem i niską efektywnością.

Metoda zmodyfikowana

W tej metodzie $Delta\; y$ obliczamy jako:

$Delta\; y\; =\; fleft(x\_n\; +\; frac\{h\}\{2\},\; y\_n\; +\; f(x\_n,\; y\_n)frac\{h\}\{2\}right)\; h.$

Jest to szczególny przypadek metody Rungego-Kutty, znany jako metoda punktu środkowego (ang. midpoint).

Metoda udoskonalona

W tej modyfikacji współczynnik nachylenia stycznej $Delta\; y$ obliczamy jako średnią arytmetyczną:

$Delta\; y\; =\; h\; frac\{f(x\_n,\; y\_n)\; +\; f(x\_n\; +\; h,\; y\_n\; +\; f(x\_n,\; y\_n)\; h)\}\{2\}.$

Podobnie jak poprzednio, jest to przypadek metody Rungego-Kutty, znany jako Metoda Heuna.