Macierze Pauliego

Macierze Pauliego

Macierze Pauliego, wprowadzone przez Wolfganga Pauliego w 1927 roku, to zbiór trzech zespolonych macierzy hermitowskich o wymiarze 2×2, które służą do opisu spinu elektronu w mechanice kwantowej:

Oznaczenia $\backslash sigma\_x\; \backslash equiv\; \backslash sigma\_1$, $\backslash sigma\_y\; \backslash equiv\; \backslash sigma\_2$, $\backslash sigma\_z\; \backslash equiv\; \backslash sigma\_3$ są powszechnie stosowane. Macierz jednostkową wymiaru $2\; \backslash times\; 2$ oznacza się zazwyczaj jako .

Macierze Pauliego, w połączeniu z macierzą jednostkową, tworzą bazę w przestrzeni Hilberta.

Właściwości algebraiczne

Macierze Pauliego mają kilka kluczowych właściwości:

• Wyznaczniki i ślady: $\backslash det(\backslash sigma\_i)\; =\; -1$, $\backslash operatorname\{Tr\}(\backslash sigma\_i)\; =\; 0$ dla $i=1,2,3$.
• Iloczyny:
  • $\backslash sigma\_1^2\; =\; I$, $\backslash sigma\_1\; \backslash sigma\_2\; =\; i\backslash sigma\_3$, $\backslash sigma\_2\; \backslash sigma\_1\; =\; -i\backslash sigma\_3$, $\backslash sigma\_2\; \backslash sigma\_3\; =\; i\backslash sigma\_1$.
  • Ogólnie: $\backslash sigma\_i\; \backslash sigma\_j\; =\; I\; \backslash cdot\; \backslash delta\_\{ij\}\; +\; i\; \backslash sum\_k\; \backslash epsilon\_\{ijk\}\; \backslash sigma\_k$.
• Relacje komutacji i antykomutacji:
  • $[\backslash sigma\_1,\; \backslash sigma\_2]\; =\; 2i\backslash sigma\_3$, $[\backslash sigma\_2,\; \backslash sigma\_3]\; =\; 2i\backslash sigma\_1$, $[\backslash sigma\_3,\; \backslash sigma\_1]\; =\; 2i\backslash sigma\_2$.
  • $\backslash \{\backslash sigma\_1,\; \backslash sigma\_1\backslash \}\; =\; 2I$, $\backslash \{\backslash sigma\_1,\; \backslash sigma\_2\backslash \}\; =\; 0$.
• Inna własność: $-i\backslash sigma\_1\; \backslash sigma\_2\; \backslash sigma\_3\; =\; I$.

Wartości i wektory własne

Każda macierz Pauliego ma dwie wartości własne: +1 i -1. Wektory własne dla poszczególnych macierzy są następujące:

• Macierz $\backslash sigma\_1$: $\backslash psi\_\{x+\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\}\; \backslash binom\{1\}\{1\},\; \backslash quad\; \backslash psi\_\{x-\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\}\; \backslash binom\{1\}\{-1\}$.
• Macierz $\backslash sigma\_2$: $\backslash psi\_\{y+\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\}\; \backslash binom\{1\}\{i\},\; \backslash quad\; \backslash psi\_\{y-\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\}\; \backslash binom\{1\}\{-i\}$.
• Macierz $\backslash sigma\_3$: $\backslash psi\_\{z+\}\; =\; \backslash binom\{1\}\{0\},\; \backslash quad\; \backslash psi\_\{z-\}\; =\; \backslash binom\{0\}\{1\}$.

Wektor macierzy Pauliego i iloczyn skalarny

Wektor macierzy Pauliego jest zdefiniowany jako:

$\backslash vec\{\backslash sigma\}\; =\; \backslash sigma\_1\; \backslash hat\{x\}\; +\; \backslash sigma\_2\; \backslash hat\{y\}\; +\; \backslash sigma\_3\; \backslash hat\{z\}$.

Iloczyn skalarny wektora $\backslash vec\{a\}$ z wektorem macierzy Pauliego to:

$\backslash vec\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{\backslash sigma\}\; =\; a\_1\backslash sigma\_1\; +\; a\_2\backslash sigma\_2\; +\; a\_3\backslash sigma\_3$.

Twierdzenia

Oto dwa ważne twierdzenia:

• $(\backslash vec\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{\backslash sigma\})(\backslash vec\{b\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{\backslash sigma\})\; =\; (\backslash vec\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{b\})\; \backslash ,\; I\; +\; i\; \backslash vec\{\backslash sigma\}\; \backslash cdot\; (\backslash vec\{a\}\; \backslash times\; \backslash vec\{b\})$.
• $e^\{i\; (\backslash vec\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{\backslash sigma\})\}\; =\; I\backslash cos\{a\}\; +\; i\; (\backslash hat\{n\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{\backslash sigma\})\; \backslash sin\{a\}$, gdzie $\backslash hat\{n\}$ to wektor jednostkowy.

Informatyka kwantowa

Macierze Pauliego są kluczowe w informatyce kwantowej, gdzie są używane jako bramki jednokubitowe, oznaczane zwykle jako $X,\; Y,\; Z$.